示例代码计算复杂度的确定

Question

我给你三个短代码：

第一个代码：

procedure Proc (n:integer)
  begin
  if n>0 then
    begin
    writeln('x')
    Proc(n-2)
     writeln('*');
     Proc(n-2)
     end 
   end

第二个代码：

procedure Proc (n:integer)
  begin
  if n>0 then
    begin
    writeln('*');
    Proc(n-1)
    end 
   end

第三个代码：

procedure Proc (n:integer)
  begin
  if n>0 then
    begin
    writeln('x')
    Proc(n/2)
     writeln('*');
     Proc(n/2)
     end 
   end

我想知道如何确定我给出的每个代码的计算复杂度，因为它会帮助我更好地理解.. 有人可以编写一个算法来逐步确定示例代码的计算复杂度，并做是否可以将此算法应用于其他代码示例？

Answer 1

第一个问题：假设你知道对于 n - 2 的值，Proc 被调用了 T(n-1) 次。因此，对于 n 的值，T(n) = 1 + 2T(n-2)，因为会调用一次 Proc(n)，然后调用 Proc(n-2) 两次。 T(n) = 1 + 2T(n-2) 是河内塔的变体，即 T(n) = 1+2T(n-1)。这里有证据http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi 证明 T(n) = 1+2T(n-1) = 2^n-1。因此 T(n-1) = 1+2T((n-1)-1)= 1+2T(n-2) = 2^(n-1) -1。在您的情况下，T(n) = 1 + 2T(n-2) = 2^(n-1) -1。换句话说，减去河内塔问题中的所有其他项可以节省大约一半的调用。 2^(n-1) - 1 = 2^n/2 - 1，即 O(2^n)。

第二个问题：这比较容易。 T(0) = 1 和 T(n) = 1 + T(n-1)。您可以通过许多不同的方式来解决这个问题，但其中一种是通过伸缩：

T(n) = 1 + T(n-1)

T(n-1) = 1 + (n-2)

...

T(1) = 1 + T(0)

两边相加...

T(n) + T(n-1)+...+T(1) = 1 + T(n-1) + ... + 1 + T(0) = n + T(n- 1)+...+T(0)

减去相似项。

T(n) = n + T(0) = n + 1。所以这是 O(n)。

第三个问题：与第一个类似。 T(0) = 1，假设我们知道对于 n-1 的值，您可以看到 T(n) = 1 + 2 T(n/2)。请注意，T(n) = 1 + 2T(n/2)

所以求解 2T(n/2) + n 并推出递归：

T(n) = 2 T(n/2) + n

T(n/2) = 2 T(n/4) + n/2

所以 T(n) = 4T(n/4) + n + n

T(n/4) = 2T(n/8) + n/4

所以 T(n) = 8T(n/8) n + n + n

...对于正 k，看起来 T(n) = 2^kT(n/2^k)+kn。

用归纳法证明。 k = 1: T(n) = 2 T(n/2)+n 给出。这是我们的基本情况。 如果 k-1 为真，则 k 为真：

T(n) = (2^(k-1))T(n/2^(k-1))+(k-1)n //归纳假设

T(n/2^(k-1)) = 2 T([n/2^(k-1))]/2)+n/2^(k-1)) //给定递归

= 2T(n/2^k)+n/2^(k-1)

=> T(n) = (2^k)T(n/2^k)+ n + (k-1)n = (2^k)T(n/2^k) + kn。 k 也是如此。

T(n) = 2^kT(n/2^k)+kn，选择一个合适的正k，比如k = ln(n)。

T(n) = 2^ln(n) T(n/2^Ln(n)) + nln(n) = nT(1) +nln(n)。

T(1) = 1 因为 Proc 刚刚结束。所以 n(T(1)) + nln(n) = nln(n) + n = O(nln(n))。

不幸的是，对于复杂性，没有一种万能的程序。您必须逐案处理并找出问题所在。