生成 3 个总和为 0 的均匀随机变量

Question

我想生成三个随机变量 a、b 和 c，使得 (i) a+b+c=0； (ii) 每个都均匀分布在 (-1,1) 中。

双变量版本很简单：a=2*rand()-1; b=-a。 （注：rand()均匀分布在(0,1)中）

由于c的范围太大，以下解决方案不起作用：a=2*rand()-1; b=2*rand()-1; c=-a-b。

以下解决方案也不起作用，因为 c 不是均匀分布的：a=2*rand()-1; b=2*rand()-1; c=(-a-b)/2。

Answer 1

吴，你是对的，有一个解决方案。这里是建筑。生成 a = 2*rand()-1。现在如果 a

不难证明 a、b 和 c 在 [-1,1] 上均匀分布。有趣的是，该解是对称的，因为所有三个成对相关都是 -1/2。它只需要一次调用随机生成器。

Answer 2

在我们知道您的要求是否可能之前，您可能会对稍微不同的问题的答案感兴趣：

是否可以有三个均匀分布的变量 a,b,c 这样 他们总是加起来为零？

答案是肯定的：以三个均匀分布的变量 a0,b0,c0 为例，使用 s=a0+b0+c0 可以得到 a=a0-s/3、b=b0-s/3 和 c =c0-s/3 具有所需的属性。如果你从a0,b0,c0 = 1.5*rand()-0.75 开始，结果 a,b,c 将在 [-1,1] 中，a,b,c 的分布将约为。看起来像这样：

现在，如果您希望 a,b,c 更接近 [-1,1] 上的均匀分布，您可以尝试类似 a0,b0,c0 = 0.75*(2*rand()-1)^(1/3) 的方法，它会为 a,b,c 生成类似于以下的分布：

Answer 3

它们会均匀分布吗？

我会说掷 3 个骰子，但预期值是 10.5，这永远不会发生，所以我要说的是掷 3 个特殊骰子，它们只能从 1 运行到 5，它们的总和必须为 9。

可能的组合有：

• 1,3,5 (*6)
• 1,4,4 (*3)
• 2,2,5 (*3)
• 2,3,4 (*6)
• 3,3,3 (*1)

1,3,5 和 2,3,4 的组合有 6 种，1,4,4 和 2,25 的组合有 3 种，3,3,3 的组合只有一种。这是 19 种可能的组合（在 125 种可能的场景中）。

在这些范围内，我们让这些骰子滚动了这些次数。 （请记住，在 2、2、5 中，每 2 计算 3*，因此是 6 卷 2）。

• 1:9
• 2:12
• 3:15
• 4:12
• 5 : 9

因此，虽然原始分布是均匀的，但一旦你加入约束，你就会发现它不再是均匀的。 （请注意，这些数字相加为 57 作为确认，19 种不同的组合，每种组合 3 次投掷）。