如何使用 numpy 在 Python 中找到矩阵的零空间？

Question

正如标题所说，如何找到矩阵的零空间 即方程 ax=0 的非平凡解。

我尝试使用 np.linalg.solve(a,b)，它可以求解方程 ax=b。因此，将b 设置为与矩阵a 具有相同维度的零数组，我只能得到简单 解决方案，即x=0。

Answer 1

你可以对角化你的矩阵：

eigen_vects, eigen_vals = np.linalg.eig(a)

然后你只需要选择对应于 0 个特征值的特征向量（可能考虑到数值精度）。

例子：

np.linalg.eig(np.ones((3,3)))

(array([ -2.22044605e-16,   3.00000000e+00,   0.00000000e+00]),
 array([[-0.81649658,  0.57735027,  0.        ],
        [ 0.40824829,  0.57735027, -0.70710678],
        [ 0.40824829,  0.57735027,  0.70710678]]))

这里的第一个和第三个向量是您的重要解决方案。

Answer 2

来自SciPy Cookbook：

import numpy as np
from numpy.linalg import svd

def nullspace(A, atol=1e-13, rtol=0):
    A = np.atleast_2d(A)
    u, s, vh = svd(A)
    tol = max(atol, rtol * s[0])
    nnz = (s >= tol).sum()
    ns = vh[nnz:].conj().T
    return ns

计算A 的零空间的近似基。

这个函数使用的算法是基于A的奇异值分解。

参数：

A: 数组

A 最多应该是二维的。长度为 k 的一维数组将被视为形状为 (1, k) 的二维数组

atol：浮动

零奇异值的绝对容差。小于atol 的奇异值被认为是零。

rtol：浮动

相对容差。小于 rtol*smax 的奇异值被认为是零，其中 smax 是最大的奇异值。

如果atol 和rtol 都是正数，则组合容差是两者中的最大值；那就是：

tol = max(atol, rtol * smax)

小于tol 的奇异值被认为是零。

返回值：

ns: 数组

如果A 是一个形状为(m, k) 的数组，那么ns 将是一个形状为(k, n) 的数组，其中n 是A 的零空间的估计维度。 ns 的列是空空间的基础； numpy.dot(A, ns) 中的每个元素都将近似为零。