Numpy Cholesky 分解 LinAlgError

Question

在我尝试对周期性边界条件的二维数组的方差-协方差矩阵执行 cholesky 分解时，在某些参数组合下，我总是得到LinAlgError: Matrix is not positive definite - Cholesky decomposition cannot be computed。不确定是numpy.linalg 还是实现问题，因为脚本很简单：

sigma = 3.
U = 4

def FromListToGrid(l_):
    i = np.floor(l_/U)
    j = l_ - i*U
    return np.array((i,j))

Ulist = range(U**2)

Cov = []
for l in Ulist:
    di = np.array([np.abs(FromListToGrid(l)[0]-FromListToGrid(i)[0]) for i, x in enumerate(Ulist)])
    di = np.minimum(di, U-di)

    dj = np.array([np.abs(FromListToGrid(l)[1]-FromListToGrid(i)[1]) for i, x in enumerate(Ulist)])
    dj = np.minimum(dj, U-dj)

    d = np.sqrt(di**2+dj**2)
    Cov.append(np.exp(-d/sigma))
Cov = np.vstack(Cov)

W = np.linalg.cholesky(Cov)

尝试移除潜在奇点也未能解决问题。非常感谢任何帮助。

Answer 1

深入挖掘问题，我尝试打印 Cov 矩阵的特征值。

print np.linalg.eigvalsh(Cov)

答案竟然是这样的

[-0.0801339  -0.0801339   0.12653595  0.12653595  0.12653595  0.12653595 0.14847999  0.36269785  0.36269785  0.36269785  0.36269785  1.09439988 1.09439988  1.09439988  1.09439988  9.6772531 ]

啊哈！注意到前两个负特征值了吗？现在，一个矩阵是正定的当且仅当它的所有特征值都是正的。因此，矩阵的问题不在于它接近“零”，而在于它是“负数”。为了扩展 @duffymo 的类比，这是线性代数，相当于尝试取负数的平方根。

现在，让我们尝试执行相同的操作，但这次使用 scipy。

scipy.linalg.cholesky(Cov, lower=True)

这说明不了更多的事情

numpy.linalg.linalg.LinAlgError: 12-th leading minor not positive definite

这说明了更多的事情，（虽然我真的不明白为什么它在抱怨 12 次未成年人）。

底线，矩阵不是很接近“零”，而是更像“负”

Answer 2

问题在于您提供给它的数据。根据求解器，矩阵是奇异的。这意味着对角元素为零或接近零，因此不可能进行反转。

如果您能提供一个小版本的矩阵，诊断会更容易。

零对角线并不是创建奇点的唯一方法。如果两行彼此成比例，则解决方案中不需要两者；他们是多余的。它比只在对角线上寻找零更复杂。

如果你的矩阵是正确的，你有一个非空的空空间。您需要将算法更改为 SVD 之类的东西。

请参阅下面的评论。