为什么下面示例中的 python 广播比简单的循环慢？

Question

我有一个向量数组，并计算它们与第一个向量的差异范数。 使用 python 广播时，计算比通过简单循环进行的计算要慢得多。为什么？

import numpy as np

def norm_loop(M, v):
  n = M.shape[0]
  d = np.zeros(n)
  for i in range(n):
    d[i] = np.sum((M[i] - v)**2)
  return d

def norm_bcast(M, v):
  n = M.shape[0]
  d = np.zeros(n)
  d = np.sum((M - v)**2, axis=1)
  return d

M = np.random.random_sample((1000, 10000))
v = M[0]

%timeit norm_loop(M, v) 
25.9 ms

%timeit norm_bcast(M, v)
38.5 ms

我有 Python 3.6.3 和 Numpy 1.14.2

在 google colab 中运行示例： https://drive.google.com/file/d/1GKzpLGSqz9eScHYFAuT8wJt4UIZ3ZTru/view?usp=sharing

Answer 1

发挥最大性能

在矢量化操作中，您显然有一个糟糕的缓存行为。但是由于没有利用现代 SIMD 指令（AVX2，FMA），计算本身也很慢。幸运的是，克服这个问题并不复杂。

示例

import numpy as np
import numba as nb
@nb.njit(fastmath=True,parallel=True)
def norm_loop_improved(M, v):
  n = M.shape[0]
  d = np.empty(n,dtype=M.dtype)

  #enables SIMD-vectorization 
  #if the arrays are not aligned
  M=np.ascontiguousarray(M)
  v=np.ascontiguousarray(v)

  for i in nb.prange(n):
    dT=0.
    for j in range(v.shape[0]):
      dT+=(M[i,j]-v[j])*(M[i,j]-v[j])
    d[i]=dT
  return d

性能

M = np.random.random_sample((1000, 1000))
norm_loop_improved: 0.11 ms**, 0.28ms
norm_loop: 6.56 ms 
norm_einsum: 3.84 ms

M = np.random.random_sample((10000, 10000))
norm_loop_improved:34 ms
norm_loop: 223 ms
norm_einsum: 379 ms

** 衡量性能时要小心

第一个结果（0.11ms）来自使用相同数据重复调用函数。这需要 77 GB/s 的 RAM 读取吞吐量，这远远超过我的 DDR3 双通道 RAM 的能力。由于连续调用具有相同输入参数的函数根本不现实，我们必须修改测量。

为了避免这个问题，我们必须使用不同的数据调用相同的函数至少两次（8MB 三级缓存，8MB 数据），然后将结果除以 2 以清除所有缓存。

这些方法的相对性能在数组大小上也有所不同（查看 einsum 结果）。

Answer 2

内存访问。

首先，广播版本可以简化为

def norm_bcast(M, v):
     return np.sum((M - v)**2, axis=1)

这仍然比循环版本运行稍慢。 现在，传统观点认为使用广播的矢量化代码应该总是更快，这在许多情况下是不正确的（我会无耻地插入我的另一个答案here）。那么发生了什么？

正如我所说，它归结为内存访问。

在广播版本中，从 v 中减去 M 的每个元素。在处理 M 的最后一行时，处理第一行的结果已从缓存中逐出，因此对于第二步，这些差异再次加载到高速缓存和平方。最后，它们被加载并第三次处理以进行求和。由于 M 相当大，因此在每一步都会清除部分缓存以容纳所有数据。

在循环版本中，每一行都在一个较小的步骤中完全处理，从而减少了缓存未命中和整体更快的代码。

最后，使用einsum 可以通过一些数组操作来避免这种情况。 此函数允许混合矩阵乘法和求和。 首先，我要指出，与 numpy 的其余部分相比，它的语法相当不直观，而且潜在的改进通常不值得付出额外的努力来理解它。 由于舍入误差，答案也可能略有不同。 在这种情况下，它可以写成

def norm_einsum(M, v):
    tmp = M-v
    return np.einsum('ij,ij->i', tmp, tmp)

这将其减少为对整个数组的两个操作 - 减法和调用 einsum，它执行平方和求和。 这带来了轻微的改进：

%timeit norm_bcast(M, v)
30.1 ms ± 116 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

%timeit norm_loop(M, v)
25.1 ms ± 37.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

%timeit norm_einsum(M, v)
21.7 ms ± 65.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)