Python：无法使用带有符号函数的 odeint 求解微分方程

Question

我正在尝试解决这个问题：

U 在哪里

这里：

s=c*e(t)+e_dot(t)

和

e(t)=theta(t)-thetad(t) 

和

e_dot(t)=theta_dot(t)-thetad_dot(t)

其中 thetad(theta desired)=sin(t)-- 即要跟踪的信号！ 和 thetad_dot=cos(t),J=10,c=0.5,eta=0.5

我首先尝试使用 odeint - 它在 t=0.4 后给出错误，即 theta（上述微分方程的解）下降到 0 并此后保持不变。但是，当我尝试将 mxstep 增加到 5000000 时，我可以在 t=4.3s 之前得到一些正确的图表。

我想得到一个纯正弦图。那就是我希望theta（上述微分方程的解）跟踪thetad，即sin（t）。但在 t=4.3sec 后无法准确跟踪 thetad。在这段时间之后，theta（上述微分方程的解）简单地下降到 0 并停留在那里。

这是我的代码-

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c=0.5
eta=0.5
def f(Y,t):
    x=Y[0]
    y=Y[1]
    e=x-np.sin(t)
    de=y-np.cos(t)
    s=c*e+de
    return [y,-c*(de)-np.sin(t)-eta*np.sign(s)]

t=np.linspace(0,10,1000)
y0=[0.5,1.0]
sol=odeint(f,y0,t,mxstep=5000000)
#sol=odeint(f,y0,t)
print(sol)
angle=sol[:,0]
omega=sol[:,1]
error=angle-np.sin(t)
derror=omega-np.cos(t)
plt.subplot(4,2,1)
plt.plot(t,angle)
plt.plot(t,error,'r--')
plt.grid()
plt.subplot(4,2,2)
plt.plot(t,omega)
plt.plot(t,derror,'g--')
plt.grid()
plt.subplot(4,2,3)
plt.plot(angle,omega)
plt.grid()
plt.subplot(4,2,4)
plt.plot(error,derror,'b--')
plt.savefig('signum_graph.eps')
plt.show()

Answer 1

odeint 使用的积分器（可能还有您发现已实现的所有积分器）基于您的导数 (f) 在每个步骤中是连续的（并且具有连续导数）的假设。 signum 函数显然打破了这个要求。这会导致错误估计非常高，无论步长多小，进而导致步长过小以及您遇到的问题。

对此有两种通用解决方案：

1. 选择您的步长，使符号翻转正好落在一个台阶上。 （这可能非常乏味。）

2. 用一个非常陡峭的sigmoid 替换signum 函数，这对于大多数应用程序来说应该没问题，甚至更现实。在您的代码中，您可以使用

   sign = lambda x: np.tanh(100*x)
   

   而不是np.sign。这里的因子 100 控制 sigmoid 的陡度。选择它足够高以反映您实际需要的行为。如果您选择过高，这可能会对您的运行时间产生负面影响，因为积分器会将步长调整为不必要的小。

在你的情况下，设置一个小的绝对容差似乎也有效，但我不会依赖这个：

sol = odeint(f,y0,t,mxstep=50000,atol=1e-5)