为双精度数据类型分配的位数

Question

64 位中有多少位分配给双精度整数部分和小数部分。或者有什么规则可以指定？

Answer 1

^{注意：我知道我已经回复了评论。这是为了我自己和 OP 一样的利益；当我试图解释它时，我总是会学到一些新东西。}

浮点值（不考虑精度）表示如下：

    <em>sign</em> * <em>significand</em> * β<sup><em>exp</em></sup>

其中 sign 是 1 或 -1，β 是 底数，exp 是整数指数，并且significand 是分数。在这种情况下，β 是 2。例如，实际值3.0 可以表示为1.10<sub>2</sub> * 2<sup>1</sup>，或0.11<sub>2</sub> * 2<sup>2</sup>，甚至0.011<sub>2</sub> * 2<sup>3</sup>。

请记住，二进制数是 2 的幂的和，从左到右依次递减。例如，101<sub>2</sub> 等价于 1 * 2<sup>2</sup> + 0 * 2<sup>1</sup> + 1 * 2<sup>0</sup>，它为我们提供了值 5。您可以使用 2 的负幂将其扩展到小数点，因此 101.11<sub>2</sub> 相当于

1 * 2<sup>2</sup> + 0 * 2<sup>1</sup> + 1 * 2<sup>0</sup> + 1 * 2<sup><strong>-1</strong></sup> + 1 * 2<sup><strong>-2</strong></sup>

这给了我们十进制值5.75。浮点数被规范化，因此在小数点之前有一个非零数字，因此我们将其写为1.0111<sub>2</sub> * 2<sup>2</sup>，而不是将5.75写成101.11<sub>2</sub>

这是如何以 32 位或 64 位二进制格式编码的？确切的格式取决于平台；大多数现代平台使用 IEEE-754 规范（它还指定了浮点运算的算法，以及无穷大和非数字 (NaN) 等特殊值），但是一些较旧的平台可能使用它们自己的专有格式（例如VAX G 和 H 扩展精度浮点数）。我认为 x86 还具有用于中间计算的专有 80 位格式。

总体布局如下所示：

seeeeeeee...ffffffff....

其中s 表示符号位，e 表示专用于指数的位，f 表示专用于有效数或分数的位。 IEEE-754 32 位单精度布局是

seeeeeeeefffffffffffffffffffffff

这为我们提供了一个 8 位指数（可以表示值 -126 到 127）和一个 22 位有效数（给我们大约 6 到 7 个有效十进制数字）。符号位中的0 表示正值，1 表示负值。对指数进行编码，使得00000001<sub>2</sub> 表示-126，01111111<sub>2</sub> 表示0，11111110<sub>2</sub> 表示127（00000000<sub>2</sub> 保留用于表示0 和“非规范化”数字，而@987654358 @ 保留用于表示无穷大和 NaN）。此格式还假定隐藏的前导小数位始终设置为1。因此，我们表示为 1.0111<sub>2</sub> * 2<sup>2</sup> 的值 5.75 将被编码为 32 位单精度浮点数为

01000000101110000000000000000000
||      ||                     |
||      |+----------+----------+
||      |           |
|+--+---+           +------------ significand (1.0111, hidden leading bit)
|   |
|   +---------------------------- exponent (2)
+-------------------------------- sign (0, positive)

IEEE-754 双精度浮点数使用 11 位作为指数（-1022 到 1023），使用 52 位作为有效数。我不会费心把它写出来（这篇文章正在变成一本小说）。

由于指数，浮点数的范围大于整数；指数 127 只需要 8 位来编码，但 2<sup>127</sup> 代表一个 38 位 十进制数。指数中的位数越多，可以表示的值范围就越大。 precision（有效位数）由有效数字中的位数决定。有效数字中的位数越多，您可以表示的有效数字就越多。

大多数实数值不能准确地表示为浮点数；您不能将无限数量的值压缩到有限数量的位中。因此，可表示的浮点值之间存在差距，并且大多数值将是近似值。为了说明问题，我们来看一个 8 位“四分之一精度”格式：

seeeefff

这为我们提供了一个介于 -7 和 8 之间的指数（我们不会担心诸如无穷大和 NaN 之类的特殊值）和一个带有隐藏前导位的 3 位有效数字。我们的指数越大，可表示值之间的差距就越大。这是一个显示问题的表格。左栏是有效数；每个额外的列都显示了我们可以为给定指数表示的值：

sig    -1        0        1        2        3        4        5
---    ----      -----    -----    -----    -----    -----    ----
000    0.5       1        2        4         8       16       32
001    0.5625    1.125    2.25     4.5       9       18       36
010    0.625     1.25     2.5      5        10       20       40
011    0.6875    1.375    2.75     5.5      11       22       44
100    0.75      1.5      3        6        12       24       48
101    0.8125    1.625    3.25     6.5      13       26       52
110    0.875     1.75     3.5      7        14       28       56
111    0.9375    1.875    3.75     7.5      15       30       60

请注意，随着我们向更大的值移动，可表示值之间的差距会变得更大。我们可以表示0.5 和1.0 之间的8 个值，每个值之间有0.0625 的间隔。我们可以表示1.0 和2.0 之间的8 个值，每个值之间有0.125 的间隔。我们可以表示2.0 和4.0 之间的8 个值，每个值之间有0.25 的间隔。等等。请注意，我们可以表示直到16 的所有正整数，但我们不能用这种格式表示值17；我们只是在有效数字中没有足够的位来这样做。如果我们以这种格式添加值8 和9，我们将得到16，这是一个舍入错误。如果该结果用于任何其他计算，则该舍入误差将被复合。

请注意，无论有效数字中有多少位，都无法准确表示某些值。就像1/3 给我们非终止小数0.333333...，1/10 给我们非终止二进制小数1.10011001100...。我们需要在有效数字中使用无限多的位来表示该值。

Answer 2

64 位机器上的双精度数，有一个符号位、11 个指数位和 52 个小数位。

想想（1 个符号位）*（52 个小数位）^（11 个指数位）