算法 - 1 个鸡蛋 100 层

Question

我目前正在我的 Robert Sedgewick 和 Kevin Wayne 的著作 Algorithhms 4th Edition 中做一个谜题，这个谜题是关于经典的 Egg Dropping 问题。

这本书的内容不多，我很难理解这里的逻辑是如何工作的。但是，书中的三个问题有点像这样：

假设我们有一个有 N 层的故事建筑，并假设如果您从 F(F ≤ N) 或更高楼层掉下鸡蛋会破裂，但如果您从任何楼层掉下鸡蛋都不会破裂低于这个。我们知道 N 的值，现在我们要算出 F 的值。

a.) 假设我们有很多鸡蛋可以尝试。想出一个策略，通过压碎 ∼ lg N 个鸡蛋来计算 F。

b.) 仅使用∼ 2 lg F 鸡蛋来改进策略。

c.) 现在我们假设我们只有一个鸡蛋。想出一个策略，通过丢鸡蛋~F次来计算F的值。

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现在我的假设 - 对于 a.) 的答案 - 如果我在哪里有 100 个楼层（因为它更容易计数）使用二分搜索？！还是我完全错了？

b.) 答案我不太明白。

并且 c.) 将是 F = F dropps，因为我们只有一个鸡蛋，它会在“Fth”层被压碎。如果我们从 0 层开始放下鸡蛋的楼层高度没有打破鸡蛋，那么我们尝试 1 层，如果鸡蛋在那里没有打破，我们尝试 2 层，依此类推on... 这将是一个线性搜索。

你们中的任何人以前都遇到过这种类型的问题吗？您对此有何看法？ （这是我学习算法和数据结构的第一个学期，所以我是这 110% 的新手）。

谢谢！

Answer 1

这是我自己的解决方案，希望对您有意义：

a.) 是的，你是对的，使用二分搜索直接给出 O(lg N) 必然找到 F

c.) 是的，你是对的，从 1 楼尝试到 F 楼，当你在 ~F 中找到 F 时，唯一的鸡蛋会破裂

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b.) 这是我肮脏想法的开始：

从 1 楼，然后 3 楼，然后 7 楼，然后 15 楼……直到它破裂。

我正在测试的是 (2^i) 的总和，其中 i >= 0

让x 成为鸡蛋破裂之前的地板Summation(2^x)。然后我们有

求和(2^x)

现在我们可以看到找到 x 是使用 lg(Sum(2^x)) = O(lg F)

那么我们就可以在 [Sum(2^x), Sum(2^(x+1))],

范围内使用二分查找

这将使用 O(lg (Sum(2^(x+1)) - Sum(2^x))) = O(lg (2^(x+1))) = O(lg (总和(2^x) + 1)) = O(lg F)

我们应该一起得到 2O(lg F)

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PS：

我认为当 F*F > N 时 2O(lg F) 可能比 O(lg N) 差。所以如果问题陈述说这是一个“改进的策略”，那就很令人困惑了

PS2：

我很笨。实际上，您可以使用相同的方法，但测试 1,2,4,8...2^x floor 并且相同的含义将成立，这给出了 2O(lg F) .我不知道为什么我的第一个想法是使用求和，这使事情变得复杂:(

Answer 2

对于 A，你是对的，最多需要 log(N) 个鸡蛋才能确定鸡蛋会打破哪一层，因为我们可以进行二分搜索来找出地板

B 部分可以这样想，假设鸡蛋在第 x 层破裂，我们可以尝试将第 2 个鸡蛋从第 1 层以线性方式落到 x-1，现在假设我在 x '第 1 层，鸡蛋没有破，接下来我可以尝试让鸡蛋从当前楼层上方的 x-1 层落下。这样我们下次只需要搜索 x-1 层，同样搜索 x-2

x + (x-1) + (x-2) + (x-3) + .... + 1 = N

将是最坏的情况。您可以使用上面的公式轻松计算 x。

对于 C 部分，我们必须遍历每一层，因为我们无法以任何其他方式找到它。我们只有 1 个鸡蛋，我们必须准确地找出地板