OpenGL 过剩 glTranslate glRotate glScale 矩阵

Question

我正在寻找矩阵的解释（或图像）以及在其上放置平移、旋转和缩放时它如何变化...（一个单元格为 sin（角度），另一个单元格的 x 坐标为翻译）

Answer 1

现在，忽略平移，这是一个比旋转和缩放稍微复杂的概念。

考虑这一点的方法是，每个矩阵都定义了基向量的变化。给定一个标准坐标系，您的基向量是(1,0,0)、(0,1,0) 和(0,0,1)。现在，我只是假设一个 2D 系统，作为概念进行，但它的工作量较少。

我也假设列专业。我不记得 OpenGL 是否真的使用了这个，所以先检查一下，如果需要，可以选择转置矩阵。

如前所述，基向量可以表示为矩阵形式。这只是将每个向量作为矩阵中的一列。因此，为了从基向量转换为基向量（即没有变化），我们将使用以下矩阵。这也称为“恒等矩阵”，因为它不对其输入做任何事情（类似于 *1 是乘法的恒等）。

2D         3D
(1 0)      (1 0 0)
(0 1)      (0 1 0)
           (0 0 1)

为了完整起见，我已经包含了 3D 版本，但这就是我将采用 3D 的范围。

比例矩阵可以看作是“拉伸”轴。如果轴是两倍大，它们上的间隔将是两倍远，因此内容会更大。以此为例

(2 0)
(0 2)

这会将基向量从(1, 0) 和(0, 1) 更改为(2, 0) 和(0, 2)，从而使整个形状的表示大小增加一倍。以图解方式，见下文。

 Before                   After
6|                        3|
5|                         |
4|                        2|-------|
3|                         |       |
2|--|                     1|       |
1|__|___________           |_______|______
0 1 2 3 4 5 6 7           0   1    2    3

旋转也一样，虽然我们使用不同的值，旋转矩阵的值如下：

(cos(x)   -sin(x))
(sin(x)    cos(x))

这将有效地围绕角度x 旋转每个轴。要真正理解这一点，请复习一下您的三角函数并假设每一列都是一个新的基向量；)。

现在，翻译有点棘手。为此，我们在矩阵的末尾添加了一个额外的列，对于所有其他操作，它的最后一行只有一个 1（即它是表单的一个标识）。对于翻译，我们填写如下：

(1 0 x)
(0 1 y)
(0 0 1)

这是一种形式的 3D，但不是您将习惯的形式。您可以将其建模为移动 Z 基础坐标（请记住，我们在这里使用 2D 工作！），假设您的模型存在于 Z=1。这有效地扭曲了形状，但同样，当我们在 2D 中工作时，它被展平，因此我们无法感知第三维。如果我们在这里以 3D 工作，这实际上是第四维，如下所示：

(1 0 0 x)
(0 1 0 y)
(0 0 1 z)
(0 0 0 1)

同样，“第四维度”没有被看到，但我们沿着它移动并展平。首先在 2D 空间中更容易理解它，然后尝试推断。在 3D 空间中，这个第四维向量称为w，因此您的模型隐含在w=1。

希望这会有所帮助！

编辑：顺便说一句，这个页面帮助我理解了翻译矩阵。它有一些不错的图表，所以希望它会更有帮助： http://www.blancmange.info/notes/maths/vectors/homo/