在重叠集上执行关联操作的最小操作数答案

【问题标题】：Minimum number of operations to execute an associative operations on overlapping sets在重叠集上执行关联操作的最小操作数
【发布时间】：2016-08-01 02:58:00
【问题描述】：

令 V 是属于域 D 的元素数组（例如整数）

V = {v1, v2, ..., vN}

令 f(x,y) 为定义在 [DxD]->D 中的二元运算符 z=f(x,y)。

f 是关联和交换的。

f 不支持其全域的逆，即如果结果 z 和参数 x 或 y 之一已知，则并不总是可以获得另一个参数。

给定一对有序索引 (i,j)，运算符 g(i,j) 定义为使用运算符 f 获得的子数组 {vi, ..., vj} 的约简。

例如，如果f是乘法运算符，即f(x,y)=x*y，那么

g(2,5) = v2 * v3 * v4 * v5

我需要在一大组 (i,j) 上计算泛函 g，其中涉及向量 V 的重叠元素。

我想利用算子 f 的关联性，以尽可能少的算子 f 应用次数来执行此计算，因为 f 在计算上非常昂贵。

例如，继续上面的例子，其中 f 是整数乘法，给定一个包含 5 个条目的数组 V 和索引对 (1,3), (2,4), (2,5), (1 ,4)，我可以用 6 个乘法计算所有对：

V={1, 2, 0, 3, 5}

1. V12 = V1 * V2
2. V13 = V12 * V3   // pair (1,3)
3. V14 = V13 * V4   // pair (1,3)
4. V23 = V2 * V3
5. V24 = V23 * V4   // pair (2,4)
6. V25 = V24 * V5   // pair (2,5)

任何人都可以建议一种算法来导出最佳计算图，就像我在上面手动所做的那样？我知道问题的解决方案不是唯一的。任何最小的解决方案都可以。即使是启发式的伪最优解决方案也可以。

【问题讨论】：

区间树似乎是识别重叠计算的好工具

标签： algorithm optimization mathematical-optimization

【解决方案1】：

这个问题有时被称为范围半群查询问题或部分和问题，并且有一些非常快速的解决方案。 These slides 推导出一个解决方案，该解决方案对 f 进行 nα(n) 预处理应用程序，并支持对 f 进行 α(n) 调用的查询，其中 α 是反 Ackermann 函数。还有一篇论文详细介绍了even faster approach。希望这些可以让您朝着正确的方向开始！

【讨论】：