如何在约束优化中将参数的总和设置为 1答案

【问题标题】：How to set parameters' sum to 1 in constrained optimization如何在约束优化中将参数的总和设置为 1
【发布时间】：2012-09-21 05:40:15
【问题描述】：

这是代码（很抱歉，如果它太长，但这是我的第一个示例）；我正在使用 A. Wittmann 和 DEoptim 求解器的 CreditMetrics 包中的 CVaR 示例进行优化：

library(CreditMetrics)
library(DEoptim)

N <- 3
n <- 100000
r <- 0.003
ead <- rep(1/N,N)
rc <- c("AAA", "AA", "A", "BBB", "BB", "B", "CCC", "D")
lgd <- 0.99
rating <- c("BBB", "AA", "B")   
firmnames <- c("firm 1", "firm 2", "firm 3")
alpha <- 0.99

# correlation matrix
rho <- matrix(c(  1, 0.4, 0.6,
                  0.4,   1, 0.5,
                  0.6, 0.5,   1), 3, 3, dimnames = list(firmnames, firmnames),
              byrow = TRUE)

# one year empirical migration matrix from standard&poors website
rc <- c("AAA", "AA", "A", "BBB", "BB", "B", "CCC", "D")
M <- matrix(c(90.81,  8.33,  0.68,  0.06,  0.08,  0.02,  0.01,   0.01,
              0.70, 90.65,  7.79,  0.64,  0.06,  0.13,  0.02,   0.01,
              0.09,  2.27, 91.05,  5.52,  0.74,  0.26,  0.01,   0.06,
              0.02,  0.33,  5.95, 85.93,  5.30,  1.17,  1.12,   0.18,
              0.03,  0.14,  0.67,  7.73, 80.53,  8.84,  1.00,   1.06,
              0.01,  0.11,  0.24,  0.43,  6.48, 83.46,  4.07,   5.20,
              0.21,     0,  0.22,  1.30,  2.38, 11.24, 64.86,  19.79,
              0,     0,     0,     0,     0,     0,     0, 100
)/100, 8, 8, dimnames = list(rc, rc), byrow = TRUE)

cm.CVaR(M, lgd, ead, N, n, r, rho, alpha, rating)

y <- cm.cs(M, lgd)[which(names(cm.cs(M, lgd)) == rating)]

现在我写我的函数...

fun <- function(w) {
  # ... 
  - (t(w) %*% y - r) / cm.CVaR(M, lgd, ead = w, N, n, r, 
                           rho, alpha, rating)
}

...我想优化它：

DEoptim(fn = fun, lower = rep(0, N), upper = rep(1, N), 
        control = DEoptim.control())

你能告诉我在优化期间我必须在# ... 中插入什么来生成sum(w) = 1吗？

下面我根据flodel的tips给大家展示一下优化结果：

# The first trick is to include B as large number to force the algorithm to put sum(w) = 1

fun <- function(w) {
  - (t(w) %*% y - r) / cm.CVaR(M, lgd, ead = w, N, n, r, rho, alpha, rating) + 
    abs(10000 * (sum(w) - 1))
}

DEoptim(fn = fun, lower = rep(0, N), upper = rep(1, N), 
        control = DEoptim.control())

$optim$bestval
[1] -0.05326055

$optim$bestmem
par1        par2        par3 
0.005046258 0.000201286 0.994752456

parsB <- c(0.005046258, 0.000201286, 0.994752456)

> fun(parsB)
            [,1]
[1,] -0.05326089

...和...

如您所见，第一个技巧效果更好，因为他找到的结果小于第二个。不幸的是，他似乎需要更长的时间。

# The second trick needs you use w <- w / sum(w) in the function itself

fun <- function(w) {
  w <- w / sum(w)
  - (t(w) %*% y - r) / cm.CVaR(M, lgd, ead = w, N, n, r, rho, alpha, rating) #+ 
    #abs(10000 * (sum(w) - 1))
}

DEoptim(fn = fun, lower = rep(0, N), upper = rep(1, N), 
        control = DEoptim.control())

$optim$bestval
[1] -0.0532794

$optim$bestmem
par1         par2         par3 
1.306302e-15 2.586823e-15 9.307001e-01

parsC <- c(1.306302e-15, 2.586823e-15, 9.307001e-01)
parC <- parsC / sum(parsC)

> fun(parC)
           [,1]
[1,] -0.0532794

有什么意见吗？

我是否应该因为“过于随机”而无法优化函数而增加迭代次数？

【问题讨论】：

在上面“第二招”的代码中，您忘记在fun 的正文中添加w <- w / sum(w)。你能更新你的代码和结果吗？
谢谢，我刚刚更新了。根据这些结果，最好的方法是什么？
谢谢。请注意，我从未建议过仍被标记为“第二招”的内容：这是错误的，您应该删除它。我建议的是目前被标记为“第一招”和“第三招”的东西。我建议了另一种方法：在fun的主体和外部使用w <- c(w, 1-sum(w))，你也尝试过吗？我认为最后一种方法可能更健壮、更快。
你说得对，我删错了。我忘记了，将变量的上限设置为 1，而不在函数体中插入 w <- w / sum(w) 会给我错误的结果。
关于w <- c(w, 1-sum(w))，它返回给我t(w) %*% y 中数组不一致参数的错误。

标签： r optimization constraints

【解决方案1】：

试试：

w <- w / sum(w)

如果DEoptim 给你一个最优解w* 这样sum(w*) != 1 那么w*/sum(w*) 应该是你的最优解。

另一种方法是解决除一个变量之外的所有变量。我们知道最后一个变量的值一定是1 - sum(w) 所以在函数体中，有：

w <- c(w, 1-sum(w))

对DEoptim返回的最优解做同样的事情：w* <- c(w*, 1-sum(w*))

这两种解决方案都要求您将问题重新表述为无约束（不计算变量界限）优化，以便可以使用DEoptim；这迫使您在 DEoptim 之外做一些额外的工作来恢复原始问题的解决方案。

在回复您的评论时，如果您希望 DEoptim 立即为您提供正确答案（即无需进行后期转换），您还可以尝试在您的目标函数中包含惩罚成本：对于例如添加B * abs(sum(w)-1)，其中B 是任意大数，因此sum(w) 将被强制为1。

【讨论】：

谢谢你，弗洛德尔，这是我习惯的解决方案。但我希望优化输出的总和已经为 1。几个月前，我记得一个函数示例，它在函数本身中嵌入了这个约束，但我无法恢复它:(
感谢您的建议，弗洛德尔。不幸的是，我不擅长约束优化，那么我将向您展示我使用您的建议获得的结果。 «大B技巧»收敛速度较慢：事实上，它试图最小化B然后它继续我的等式的第一部分；将参数归一化为 1 允许更快的收敛，但在归一化之后，我获得了次优解决方案。我将编辑我的问题，以便向您展示我的代码...

【解决方案2】：

我认为你应该对任何偏离其中的行为加罚。将术语+(sum(weights) - 1)^2 * 1e10 添加到您的最小化问题中。您应该看到，这个巨大的惩罚将迫使权重总和为 1！

【讨论】：