何时使用 low < high 或 low + 1 < high 表示循环不变量答案

【问题标题】：When to use low < high or low + 1 < high for loop invariant何时使用 low < high 或 low + 1 < high 表示循环不变量
【发布时间】：2013-08-13 07:20:55
【问题描述】：

我已阅读多篇文章，包括 Jon Bentley 关于二分搜索的章节。这就是我对正确二分搜索逻辑的理解，它适用于我所做的简单测试：

binarysearch (arr, low, high, k)
    1. while (low < high)
        2. mid  = low + (high - low)/2
        3. if (arr[mid] == k)
               return mid
        4. if (arr[mid] < k )
               high = mid -1
        5. else 
               low = mid + 1

现在要找到第一次出现的排序重复项，如果条件继续，您将有机会在第 3 行而不是以

的形式返回 mid

binarysearch_get_first_occur_with_duplicates (arr, low, high, k)
    1. while (low < high)
        2. mid  = low + (high - low)/2
        3. if (arr[mid] == k)
               high = mid - 1
               low_so_far = arr[mid]
        4. if (arr[mid] < k )
               high = mid -1
        5. else 
               low = mid + 1
        return low_so_far

同样要获得重复元素的最高索引，你会做low = mid + 1 并继续如果arr[mid]==k

这个逻辑似乎有效，但在多个地方我看到循环不变量为

while (low + 1 < high)

我很困惑，想了解您何时可能想改用 low + 1 < high 的low < high。

在我上面描述的逻辑low + 1 < high 中，如果您使用简单示例进行测试，条件会导致错误。

有人能解释一下为什么以及何时我们可能希望在 while 循环中使用 low + 1 < high 而不是 low < high？

【问题讨论】：

猜测一下，如果您的不变量是目标必须位于low <= i <= high，那么您使用while (low < high)；如果您的不变量是目标必须位于low <= i < high，那么您使用while (low + 1 < high)。说了这么多，我还没查！
@Rafe 你的猜测是正确的。继续并将其作为答案发布。

标签： algorithm binary-search loop-invariant

【解决方案1】：

如果你的不变量是目标必须位于low <= i <= high，那么你使用while (low < high)；如果您的不变量是目标必须位于low <= i < high，那么您使用while (low + 1 < high)。 [感谢 David Eisenstat 对此的确认。]

【讨论】：