最优矩阵搜索（2D）问题的时间复杂度分析

Question

这将是我提出的一个相当大的问题，因为它需要对问题有深入而透彻的了解，以及迄今为止为获得最佳解决方案而采取的各种方法。

关于这个问题，我稍后会创建一个博客，因为我需要一点时间来写内容等等。所以，一旦准备好，我会提供我的博客链接。

不过，我发布此内容是为了让我们开始讨论。

第一件事：

问题如下：

编写一个在 n x m 表（二维>数组）中搜索值的高效算法。该表按行和列排序——即，

表[i][j] ≤ 表[i][j + 1] 表[i][j] ≤ 表[i + 1][j]。

需要注意的是，每一行和每一列都是单调排序的，即每一行和每一列都按非递减（字典顺序）排序。

对于实际问题和对此问题的精彩讨论，请点击以下链接：

注意：这篇文章有第 1,2 和 3 部分。

Searching 2D Matrix

来自澳大利亚格里菲斯大学的 Hong Shen 于 1995 年 12 月 27 日发表了该问题的最优解为 O(mlog(2n/m)) 的串行算法。

Hong Shen-- Generalized Optimal Matrix Search

从那时起，许多论坛讨论、博客以及在线和离线文章和出版物都对此进行了讨论，但截至今天，据我所知，O(((log(n))2) 是改进的二分搜索在本文中得到了最好的评价。

虽然没有提供详细的算法。

现在，我对这个问题做了不同的解决方案，希望使最优解低于当前最好的（我认为）

但是，我并不擅长分析算法的时间复杂度。

以下只是其中之一。当我们做出决定时，我会继续为其他人提供帮助，从而在您的帮助下做出最好的决定。

这里先给大家分析一下时间复杂度

  /*  NIAZ MOHAMMAD

    IntPol2d.cpp

    1. Find the interpolated mid along column
    2. Compare key with each elements in row-wise 
       along the found mid column
    3. IF failed
        DO 
        RECURSIVE call to IntPol2d 
        a. IF(key > a[row][mid])
            THEN SET l = mid + 1 and d = row - 1;
        b. ELSE set r = mid -1 and u = row;
*/


    bool intPol2d(int mat[][6], int M, int N, int target, int l, int u, int r, int d, int &targetRow, int &targetCol,int &count) {
      count++;
      if (l > r || u > d) return false;

      if (target < mat[u][l] || target > mat[d][r]) return false;

      int mid = l + ((target - mat[u][l])*(r-l))/(mat[d][r]-mat[u][l]);
      int row = u;

      while (row <= d && mat[row][mid] <= target) 
      {
        if (mat[row][mid] == target) 
        {
          targetRow = row;
          targetCol = mid;
          return true;
        }
        row++;
      }
      return intPol2d(mat, M, N, target, mid+1, u, r, row-1, targetRow, targetCol,count) ||
             intPol2d(mat, M, N, target, l, row, mid-1, d, targetRow, targetCol,count);

    }

如果您需要完整的可执行代码，请告诉我。

感谢您的耐心和帮助，我们在讨论区见：

注意：@管理员或版主，如果这里不适合此类冗长问题，请告诉我，然后我将转到我的博客。

Answer 1

您不必将数组视为二维事物。它只是一个 mat[n]，其中 n=MxN 并进行复杂度 O(log(n)) 的二进制搜索。请注意，这是对数基数 2，是最坏的情况。请注意，复杂性不包括 1 以外的常量，因为它们不会随输入大小而变化。实际最坏的情况是测试了 2*log(n) 个元素。此外，您可能会在第一次测试中击中您想要的那个。如果不预先构建哈希表或其他关联数组，其中指向您要查找的原始矩阵中元素的指针位于新数组中的索引处，您将无法获得比这更快的速度。您需要值为 46 的元素，因此您在索引表中查看元素索引 46，也就是说，它指向 (M,N)=(2357,656)。在构建可重用、内存昂贵的索引表之后，繁荣，复杂度 O(1)。