计算垂直于 3D 中第三个向量的两个向量答案

【问题标题】：Computing two vectors that are perpendicular to third vector in 3D计算垂直于 3D 中第三个向量的两个向量
【发布时间】：2012-05-28 22:45:13
【问题描述】：

计算垂直于第三个向量 (X) 并且彼此垂直的两个向量的最佳（最快）方法是什么？

这就是我现在计算这些向量的方式：

// HELPER - unit vector that is NOT parallel to X
x_axis = normalize(X);
y_axis = crossProduct(x_axis, HELPER);
z_axis = crossProduct(x_axis, y_axis);

我知道对此有无数种解决方案，我不在乎哪一种会是我的解决方案。

这个问题的背后是什么：我需要构建变换矩阵，我知道 X 轴（矩阵中的第一列）应该指向哪个方向。我需要计算 Y 轴和 Z 轴（第二列和第三列）。众所周知，所有轴都必须相互垂直。

【问题讨论】：

here 的算法有你需要的吗？他们关注以稳健有效的方式生成 y_axis。
这是一个几乎相同的问题：[stackoverflow.com/questions/19649452/… 使用一个正交向量，只需叉积即可产生第二个。

标签： math vector 3d

【解决方案1】：

我做了什么，前提是X<>0或Y<>0是

A = [-Y, X, 0]
B = [-X*Z, -Y*Z, X*X+Y*Y]

然后对向量进行归一化。

[ X,Y,Z]·[-Y,X,0] = -X*Y+Y*X = 0
[ X,Y,Z]·[-X*Z,-Y*Z,X*X+Y*Y] = -X*X*Z-Y*Y*Z+Z*(X*X+Y*Y) = 0
[-Y,X,0]·[-X*Z,-Y*Z,X*X+Y*Y] = Y*X*Z+X*Y*Z = 0

这称为向量的 nullspace。

如果X=0 和Y=0 则A=[1,0,0]、B=[0,1,0]。

【讨论】：

引入了另一种数学精确但数值不稳定的计算。
请解释“不稳定”。如果失败，您能否提供一个（非零）示例？
例如，如果 X 和 Y 的大小不同，则对它们进行平方往往会产生虽然代数正确但数值不正确的结果。当 Y 与 X 相比足够大时，XX + YY 减少为 Y*Y。
输入向量根据 OP 进行归一化，因此最坏的情况是 [1, ε, 0]，其中 ε 是机器精度。结果将是[-ε,1,0] 和[0,0,1]，它们仍然是nullspace。我真的一点也不明白你的意思（在这种情况下）。
您可能认为[ε,ε,1] 案例失败了，但是当结果在最后一步标准化时，它可以正常工作。不要伪造现代计算机在内部使用 80 位浮点数进行计算，但最终只显示 32 或 64 位。

【解决方案2】：

这就是这样做的方法。
这也可能是唯一的方法。任何其他方式在数学上都是等效的。
通过打开 crossProduct 计算并确保您不会多次执行相同的乘法运算，可以节省几个周期，但这对于微优化领域来说真的很遥远。

您应该注意的一件事当然是 HELPER 向量。它不仅必须与 X 不平行，而且它与 X 非常不平行也是一个好主意。如果 X 和 HELPER 甚至有点平行，那么您的浮点计算将不稳定且不准确.您可以测试一下，如果 X 和 HELPER 的点积为 0.9999 左右会发生什么。

【讨论】：

感谢您的回复。是的，HELPER 远不能与 X 平行。我正在为 android 平台开发，我希望有一些技巧来计算至少第一个并行向量更便宜一些。我会给这个问题一些时间，如果没有更好的答案，我会接受这个作为答案。
没有。这不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，这取决于 HELPER 的价值。

【解决方案3】：

有一种方法可以找到一个好的 HELPER（真的 - 它已准备好成为您的 y_axis）。

让我们 X = (ax, ay, az)。选择2个量级较大的元素，交换它们，取反其中一个。将第三个元素设置为零（幅度最小）。这个向量垂直于 X。

例子：

如果 (ax

X*HELPER = 0*0 - ay*az + az*ay = 0

如果 (ay

【讨论】：

【解决方案4】：

对于一个好的 HELPER 向量：找到具有 最小绝对值的 X 坐标，并使用该坐标轴：

absX = abs(X.x); absY = abs(X.y); absZ = abs(X.z);
if(absX < absY) {
  if(absZ < absX)
    HELPER = vector(0,0,1);
  else // absX <= absZ
    HELPER = vector(1,0,0);
} else { // absY <= absX
  if(absZ < absY)
    HELPER = vector(0,0,1);
  else // absY <= absZ
    HELPER = vector(0,1,0);
}

注意：这实际上与@MBo 的答案非常相似：取坐标轴最小的叉积相当于将最小坐标设置为零，交换较大的两个，然后取反。

【讨论】：

【解决方案5】：

我认为单位向量中所有元素的最小最大幅度总是大于 0.577，所以你也许可以摆脱这个：

-> 通过找到幅度大于 0.5 的任何元素，然后忽略不同的元素（在其位置使用 0）并将垂直线应用于剩余元素中的 2D 向量公式（对于 2D x-axis=(ax,ay) -> y-axis=(-ay,ax)）

let x-axis be represented by (ax,ay,az)

if (abs(ay) > 0.5) {
  y-axis = normalize((-ay,ax,0))
} else if (abs(az) > 0.5) {
  y-axis = normalize((0,-az,ay))
} else if (abs(ax) > 0.5) {
  y-axis = normalize((az,0,-ax))
} else {
  error("Impossible unit vector")
}

【讨论】：