使用改进的 Gram Schmidt 进行 QR 分解

Question

问题： 对于这个问题，你会得到一个名为 As 的矩阵列表，你的工作是找到每个矩阵的 QR 分解。

实现 qr_by_gram_schmidt：此函数将矩阵 A 作为输入并计算 QR 分解，返回两个变量 Q 和 R，其中 A=QR，Q 正交，对角线下方 R 为零。

A 是一个 n×m 矩阵，n≥m（即行多于列）。

您应该使用修改后的 Gram-Schmidt 过程来实现此功能。

输入：

As：数组列表

输出：

Qs：qr_by_gram_schmidt 输出的 Q 矩阵列表，顺序与 As 相同。对于形状为 n×m 的矩阵 A，Q 的形状应为 n×m。
Rs：qr_by_gram_schmidt 输出的 R 矩阵列表，顺序与 As 相同。对于形状为 n×m 的矩阵 A，R 的形状应为 m×m

我已经编写了我认为正确的 QR 分解代码：

import numpy as np
def qr_by_gram_schmidt(A):
m = np.shape(A)[0]
n = np.shape(A)[1]
Q =  np.zeros((m, m))
R =  np.zeros((n, n)) 
for j in xrange(n):
    v = A[:,j]
    for i in xrange(j):
        R[i,j] = Q[:,i].T * A[:,j]
        v = v.squeeze() - (R[i,j] * Q[:,i])
    R[j,j] =  np.linalg.norm(v)
    Q[:,j] = (v / R[j,j]).squeeze()
return Q, R

如何编写循环来计算 As 中每个矩阵的 QR 分解并按该顺序存储它们？

编辑：代码也有一些错误。如果您能帮助我调试它，我将不胜感激。

谢谢

Answer 1

我没有检查您的 GS 代码，但必须进行更改（可能不正确！）以使其编译。您只需要设置一个矩阵列表，我制作了其中 2 个，然后遍历该列表并应用您的函数。

将 numpy 导入为 np

def gs(A):
    m = np.shape(A)[0]
    n = np.shape(A)[1]
    Q =  np.zeros((m, m))
    R =  np.zeros((n, n)) 
    print m,n,Q,R
    for j in xrange(n):
        v = A[:,j]
        for i in xrange(j):
            R[i,j] =  np.dot(Q[:,i].T , A[:,j])   # I made an arbitrary change here!!!
            v = v.squeeze() - (R[i,j] * Q[:,i])
        R[j,j] =  np.linalg.norm(v)
        Q[:,j] = (v / R[j,j]).squeeze()
    return Q, R

As= np.random.rand(2,3,3)  # list of 2 (3x3) matrices
print As

for A in As:
    print gs(A)

输出：

[[[ 0.9599614   0.02213113  0.43343881]
  [ 0.44202415  0.6816688   0.88321052]
  [ 0.93098107  0.80528361  0.88473308]]

 [[ 0.41794678  0.10762796  0.42110659]
  [ 0.89598082  0.81225543  0.52947205]
  [ 0.0621515   0.59826789  0.14021332]]]
(array([[ 0.68158915, -0.67980134,  0.27075149],
       [ 0.31384477,  0.60583989,  0.73106736],
       [ 0.66101262,  0.41331364, -0.626286  ]]), array([[ 1.40841649,  0.76132516,  1.15743793],
       [ 0.        ,  0.73077208,  0.60610414],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.20894464]]))
(array([[ 0.42190511, -0.39510208,  0.81602109],
       [ 0.90446656,  0.121136  , -0.40898205],
       [ 0.06274013,  0.91061541,  0.40846452]]), array([[ 0.99061796,  0.81760207,  0.66535379],
       [ 0.        ,  0.6006613 ,  0.02543844],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.18435946]]))