在python中旋转高维正交向量答案

【问题标题】：Rotating high dimensional orthogonal vectors in python在python中旋转高维正交向量
【发布时间】：2020-11-15 06:04:42
【问题描述】：

假设我有维度为n 的正交向量。我有两个问题：

如何使用现有的包（numpy、scipy、pytorch 等）在 python 中创建/初始化 n 个这样的正交向量？理想情况下，考虑到约束，这些基向量应尽可能随机，即尽可能避免使用 1,0,-1 等值。
如何将它们旋转一个角度alpha 以使它们在高维空间中保持正交？同样，我想在 python 中执行此操作，最好使用某些包中的现有实现。

【问题讨论】：

只需创建一个 n 维旋转矩阵并将基向量与它相乘。这到底有什么不清楚的地方？
关于初始化的问题非常广泛。构造正交矩阵的方法有很多，这取决于您的需要。目标是什么？
@NilsWerner 我熟悉n=2 和n=3 的旋转矩阵。我在问如何为一般n 执行此操作。
@bnaecker 我编辑了问题以回答您的评论

标签： python numpy scipy rotational-matrices orthogonal

【解决方案1】：

您可以对随机矩阵进行 QR 分解，并将 R 分量设置为零。这将产生一个随机正交矩阵。

改变 Q 分量中的 Givens 角度之一，您会得到随机旋转。

【讨论】：

感谢您的回答。你能解释一下“改变 Q 分量中的一个吉文斯角”是什么意思吗？另外，我实际上不需要随机旋转，而是需要角度alpha 的旋转。这可行吗？

【解决方案2】：

我已经回答了你的第一个问题，并且对如何处理第二个问题有一些想法。

import numpy as np

#let's say we're working in 5-D space
n = 5

#set of orthogonal basis vectors
basis_vectors = []

for _ in range(n):
    vector = np.random.randn(n)
    for basis_vector in basis_vectors:
        vector -= basis_vector.dot(vector) * vector
    #uncomment following to make basis orthonormal
    #vector /= np.linalg.norm(rotation_axis)
    basis_vectors.append(vector)

for a_i in range(n):
    for b_i (a_i + 1, n):
        assert np.allclose(basis_vectors[a_i].dot(basis_vectors[b_i]), 0)

因为您想以相同的方式旋转两个向量，所以必须有一种方法来保存每次旋转执行方式的信息（例如旋转矩阵、旋转四元数）。

3D 旋转矩阵的现有实现包括 Scipy 函数 scipy.spatial.transform.Rotation.from_rotvec 和 Python 的四元数模块（请参阅 henneray's answer），但这些仅适用于 3D 向量。除非我忽略了什么，否则有必要从头开始实施 ND 旋转。

以下是我将采取的步骤的概要：

找到 2D 平面的 2 个线性独立的 ND 基向量，要在其中旋转这两个向量。（您要旋转的向量 a 和 b 不一定在这个平面上）
找出与前 2 个向量线性无关的剩余 (N-2)D 个基向量。组合的 N 个基向量应该跨越 ND 空间。
将要旋转的两个 ND 正交向量中的每一个分解为两个向量之和：1) 向量在您构建的 2D 平面上的投影和 2) 向量的“剩余部分”不t 落在二维平面上。暂时把这个“剩余部分”放在一边。
对投影的 N 维向量执行基更改，以便它们可以表示为 2D 向量和 Nx2 矩阵的乘积，该矩阵的列设置为计算的每个相应的基向量。请记住，二维矢量现在位于修改后的坐标空间中，而不是原始坐标空间中。
在第一步中确定的 2D 平面内构造与所需旋转相对应的 2D 旋转矩阵。对二维向量执行旋转变换。
通过将乘以 Nx2 矩阵，将旋转后的 2D 向量转换回主坐标系中的 ND 向量。
将之前留出的“剩余部分”添加回映射的 ND 向量。
生成的两个向量已在特定 2D 平面上旋转任意角度，但仍保持正交性。

我希望这些想法对您有所帮助。保重。

【讨论】：

感谢您的回答！我认为我最初的问题并不清楚，但我需要一个正交（可能是正交基），所以这将是一个维度为 n 的方阵。我发现了一个scipy函数可以做1，虽然看起来2不容易。
@sanjas 啊，我明白了。我刚刚更新了答案，以确保提供 n 个基向量的一致性。祝你好运！

【解决方案3】：

我发现了一个scipy函数可以做1，ortho_group，还在想2。

>>> from scipy.stats import ortho_group
>>> m = ortho_group.rvs(dim=4)
>>> m
array([[-0.25952499,  0.435163  ,  0.04561972,  0.86092902],
       [-0.44123728, -0.38814758, -0.80217271,  0.10568846],
       [ 0.16909943, -0.80707234,  0.35548632,  0.44007851],
       [-0.8422362 , -0.0927839 ,  0.47756387, -0.23229737]])
>>> m.dot(m.T)
array([[ 1.00000000e+00, -1.68203864e-16,  1.75471554e-16,
         9.74154717e-17],
       [-1.68203864e-16,  1.00000000e+00, -1.18506045e-16,
        -1.81879209e-16],
       [ 1.75471554e-16, -1.18506045e-16,  1.00000000e+00,
         1.16692720e-16],
       [ 9.74154717e-17, -1.81879209e-16,  1.16692720e-16,
         1.00000000e+00]])

【讨论】：