找到 2 个知道它们的叉积和一个约束的向量

Question

我必须在 3D 空间中找到两个向量，a 和 b，例如 a x b = c，其中已知 c。我也知道一个约束，假设a_y = 0
所以我必须在(c_x)x+(c_y)y+(c_z)z=0平面上寻找这两个向量，对于向量a我可以将其简化为(c_x)x+(c_z)z=0
对于矢量b，因为它垂直于a，而且它必须在(a_x)x+(a_z)z=0 平面和(c_x)x+(c_y)y+(c_z)z=0 平面的交点中。
在添加叉积方程后，我有4 方程和5 未知数(a_x,a_z,b_x,b_y,b_z)。我该如何解决这个问题？
提前致谢。

编辑：也许解释一下我需要这些东西会有所帮助。
我有相机方向矢量，我需要指向屏幕右侧的矢量，以及指向上方的第二个矢量。

Answer 1

1. 问题定义

   A,B=?
   C=!
   Ay=!
   A x B = C
   

   点积和叉积的隐含属性：

   (A.C) = 0
   (B.C) = 0
   |A|.|B| = |C|
   

2. 将其中一个向量的length 设置为任何已知常数，例如1

   |A|=1
   |B|=|C|
   

   John Moeller 在他的评论中也提到了这一点

3. 计算A

   |A|=1 的长度和(A.C)=0 的点积是垂直的，所以：

       Ax^2 + Ay^2 + Az^2 = 1
       Ax.Cx + Ay.Cy + Az.Cz = 0
   

   这是2 方程和2 未知数的系统，所以解决它。这将导致2 解决方案选择了一个非零值。

4. 计算B

   我们知道B 垂直于C 所以(B.C)=0 所以把约束放在一起：

   A x B = C
   Bx.Cx + By.Cy + Bz.Cz = 0
   Bx^2 + By^2 + Bz^2 = Cx^2 + Cy^2 + Cz^2
   

   如果您展开叉积，您将得到5 方程和3 未知数。所以求解系统（选择非平凡方程中的任何3）。

PS看来这是为了生成你的NEH矩阵类比

因此，如果是这种情况，所有 3 个向量都相互垂直，而一个指向特定方向（Up 或 North ...），并且所有向量的大小通常为 1。

假设D 向量是已知的对齐向量：

A'= C x D
B = C x A'
A = C x B

您可以更改操作数的顺序以获得您需要的方向。如果D 未知，那么您可以使用(1,0,0) 或(0,1,0) 或(0,0,1)，而不是选择与C 不平行的一个...或具有最大的(C.D)。也可以看看：

• How to find view point coordinates?

[备注]

点积：(A.B)=Ax.Bx+Ay.By+Az.Cz
交叉产品：A x B
长度：|A| = sqrt (Ax^2 + Ay^2 + Az^2)