大整数算术 - 如何实现模？

Question

我想实现自己的（简单）大/任意整数精度算术，首先在 Java 中（因为我更熟悉语法），然后将其重写为 C。

我有无限长度数字的加法、减法和乘法，现在我需要模数来进行加密应用。

我将任意数字的数字存储在一个数组中，我按照以下指南了解如何存储数字： How to handle very large numbers in Java without using java.math.BigInteger

所以例如我要计算

849465603662254214335539562 % 578907659710377778063722

当我有两个数组时：

int[] a = [8, 4, 9, 4, 6, 5, 6, 0, 3, 6, 6, 2, 2, 5, 4, 2, 1, 4, 3, 3, 5, 5, 3, 9, 5, 6, 2]
int[] b = [5, 7, 8, 9, 0, 7, 6, 5, 9, 7, 1, 0, 3, 7, 7, 7, 7, 8, 0, 6, 3, 7, 2, 2]

代表这些数字。

什么是尽可能简单的解决方案

int[] c = modFunction(a, b)

感谢任何帮助。

Answer 1

在计算D mod M 时，您可以从D 中减去M 的任意整数倍而不改变结果。如果您减去商D/M 的近似值，您将更接近所需的模数。重复直到商0会给你答案。

while D >= M
  Q= some integer approximation of D / M
  D= D - Q.M

要获得这样的商近似值，请取 D 和 M 的最高有效数字 K 并计算 Q=10^K.D/M 的整数部分。这可以使用双精度算术方便地完成，并为您提供K 数字（您最多可以使用K=15）。在减法之前添加len(D)-len(M)-K 零以重新对齐。

请注意，在将 D 和 M 的近似值相除（除以第一个 K 数字）时，在 K 数字之后截断可能会导致商出现小错误。 （我的猜测是Q 上的最大误差是一个单位。）这个误差并不重要，因为只要减去M 的整数倍，D 仍然是一个精确值。只有最后你需要检查0<=D<M。

在给定的示例中，849465603662254214335539562 mod 578907659710377778063722，近似商为10^15.849465603662254 / 578907659710377 = 1467359412876373.，您需要添加-12 零（！）进行重新对齐，即将小数点左移并使用1467。

那么849465603662254214335539562 - 1467 * 578907659710377778063722 = 208066867130013916059388就是请求的模数。

Answer 2

方法一

我想出了这个方法；它不一定有效，但确实有效。

请注意，您可以使用输入的长度（以数字为单位）来计算其对数。
您可以使用它来执行除法，从而执行模数。

具体来说，首先要注意

849465603662254214335539562 / (578907659710377778063722 * 1000) = 1.4...

因此

849465603662254214335539562 - 578907659710377778063722 * 1000 = 270557943951876436271817562

现在请注意

270557943951876436271817562 / (578907659710377778063722 * 100) = 4.6...

因此

270557943951876436271817562 - (578907659710377778063722 * 400) = 38994880067725325046328762

现在请注意

38994880067725325046328762 / (578907659710377778063722 * 10) = 6.7...

因此

38994880067725325046328762 - (578907659710377778063722 * 60) = 4260420485102658362505442

最后，请注意

4260420485102658362505442 / (578907659710377778063722 * 1) = 7.3...

因此

4260420485102658362505442 - (578907659710377778063722 * 7) = 208066867130013916059388

所以答案是208066867130013916059388。

仅通过检查长度即可轻松获得 10 的幂，您可以通过乘法尝试所有 10 种可能性并找出给出非负数的最高值来找出需要减去的倍数结果。

方法二

只需使用乘法对商进行二进制搜索！然后用商求余数。

Answer 3

取模非常简单：

a % b = a - floor((a / b)) * b

您只需要整数除法（或 floor() 和除法）、乘法、减法。我想你已经有这些操作了。

如果你只有整数，则不需要floor() 函数：

a % b = a - (a / b) * b

例子：

849465603662254214335539562 % 578907659710377778063722 =
849465603662254214335539562 - (849465603662254214335539562  / 578907659710377778063722) *  578907659710377778063722 =
849465603662254214335539562 - 1467 * 578907659710377778063722 =
849465603662254214335539562 - 849257536795124200419480174 =
208066867130013916059388

Answer 4

为什么不想使用 BigDecimal 类？它有 remainder 方法，它完全符合您的要求。您可以查看source code of BigDecimal class 来查看它是如何实现的。