从大小为 n 的数组中随机生成一组 m 个整数

Question

完整的问题是：

编写一个方法，从大小为n 的数组中随机生成一组 m 个整数。每个元素必须有相同的被选中概率`

这个问题是从“Crack the coding interview”中挑选出来的，答案是这样的：

我们可以将元素与数组开头的元素交换，然后“记住”数组现在只包含 j 和更大的元素。也就是说，当我们选择subset[0] 为array[k] 时，我们将array[k] 替换为数组中的第一个元素。当我们选择subset[1] 时，我们认为array[0] 是“死的”，我们会在1 和数组size() 之间选择一个随机元素y。然后我们设置subset[1]等于array[y]，设置array[y]等于array[1]。元素 0 和 1 现在“死”了。 Subset[2] 现在从 array[2] 到 array[array size()] 中选择，依此类推。

我的问题是，如果我们缩小从中选择随机数的数组，那么每个数字被选择的概率1/remaining_num_elements。它如何对所有元素保持相等？

Answer 1

想象一下，就像您从一袋n 数字中挑选m 随机数一样，第一个j 元素代表the numbers in your hand，其余元素代表the numbers still in the bag。 （正如您的书所建议的，您将 j 从 0 迭代到 m - 1 以提取数字。然后，j 表示您已经从袋子中提取的整数数量。）

如果您在现实生活中从一个袋子中挑选m 整数，那么每次您挑选一个新数字时，您只能从袋子中取出，而不是从您的手中。因此，remaining_num_elements 在每一步都会缩小。

当你这么想的时候，应该很容易看出这个方法保证了每个元素被选中的概率都是相等的。

Answer 2

如果我们缩小从中选择随机数的数组，那么每个数字被选择的概率为 1/remaining_num_elements。

是的，你是对的，但1/remaining_num_elements 是一个元素在特定回合中被拾取的概率。在这里，我们对元素最终在m 轮次中被选中 的概率感兴趣。对于所有 n 元素，它保持不变。

您需要问的问题是：n 中的每一个元素在m 回合中是否有公平和平等的机会被选中？ 答案是肯定的，因为，

P(一个元素最终在m元素集合中被拾取) = P(元素在第一回合被捡起) +
P(元素在第 1 回合未被拾取) * P(元素在第 2 回合被拾取) +
P(元素在第 1 2 回合未被拾取) * P(元素在第 3 回合被拾取) + ... 以此类推

如果您计算的话，对于最初存在的所有 n 元素，它保持不变。

Answer 3

您在概率中看到的差异是由于它是条件属性的事实（事实上已经选择了某些东西，而在最后一次提取中，这个元素还没有被选择或提取）。但是，选择任何给定球的概率或公平性总体上不会改变。