查找具有范围的高斯随机变量的概率

Question

我是 MATLAB 的初学者，试图用它来帮助我理解随机信号，我正在做一些正态概率密度函数计算，直到遇到这个问题：

编写一个MATLAB程序计算概率Pr(x1 ≤ X ≤ x2) 如果 X 是任意 x1 和 x2 的高斯随机变量。

请注意，您必须指定高斯随机数的 mean 和 variance 变量。

我通常使用内置的normpdf 函数当然选择我的均值和方差，但是对于这个，因为它有一个范围，我不确定我能做些什么来找到答案

 Y = normpdf(X,mu,sigma)

Answer 1

如果您从概率论中回忆，您知道Cumulative Distribution Function 总结了从-infinity 到某个点x 的概率。具体来说，概率分布 P 的 CDF F(x) 与随机变量 X 在某一点评估 x 定义为：

请注意，我假设我们正在处理离散情况。另外，我们称其为 left-tail 总和，因为它将分布左侧到点 x 的所有概率相加。因此，这定义了曲线下方直到点 x 的区域。

现在，您的问题是要找到某个范围 x1 <= x <= x2 之间的概率，而不仅仅是使用左尾和 (<= x)。现在，如果x1 <= x2，这意味着终点为x2 的总区域，或直到并包括x2 的所有事件的概率，也是由定义的区域的部分在x1 定义的端点。因为您想要某个范围之间的概率，所以您需要累积在x1 和x2 之间发生的所有事件，因此您需要在此范围之间的 PDF 曲线下面积。此外，您希望拥有大于x1 且小于x2 的区域。

这是一个图片示例：

^{Source: ReliaWiki}

上图是高斯分布函数的 PDF，下图是高斯分布的 CDF。您会看到，如果x1 <= x2，由x1 点定义的区域也由x2 点捕获。这是一个更好的图表：

^{Source: Introduction to Statistics}

这里的 CDF 是连续的而不是离散的，但结果还是一样的。如果您想要在两个区间之间的区域以及最终在两个范围之间的概率，则需要在x2 处获取 CDF 值并减去在x1。您需要 剩余 区域，因此您只需减去 CDF 值并最终得到左尾区域，如此：

因此，要计算高斯分布的 CDF，请使用 normcdf 并指定高斯分布的均值和标准差。因此，您只需要这样做：

y = normcdf(x2, mu, sigma) - normcdf(x1, mu, sigma);

x1 和x2 是您要计算其下概率总和的区间值。

Answer 2

你可以使用erf，

mu = 5;
sigma = 3;
x1 = 3;
x2 = 8;
p = .5*(erf((x2-mu)/sigma/2^.5) - erf((x1-mu)/sigma/2^.5));

error function在MATLAB中是这样定义的，