我应该如何在 Haskell 中定义二叉树？答案

【问题标题】：How should I define a binary tree in Haskell?我应该如何在 Haskell 中定义二叉树？
【发布时间】：2015-06-03 02:32:45
【问题描述】：

在 Haskell 中，可以通过以下两种方式之一定义二叉树：

data Tree a = Empty | Branch a (Tree a) (Tree a)

或

data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)

选择其中一个有什么好处？在哪些情况下，一种树结构比另一种更适合？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我认为后者几乎没有用，因为它可以展平为（非空）列表，唯一的区别是分支结构。然而，在运行时仍然难以分析，因为内部节点没有携带额外的信息；当你看到一个分支时，你不能说它的两个子树中的任何一个。要区分它们，您必须遍历它们并从本质上消除我们更喜欢树的 O(log n) 复杂度。

如果有人发现这种数据结构的用例，请告诉我。

【讨论】：

【解决方案2】：

正如@PetrPudlák 所说，这取决于。前者更适合搜索树。但是，后一个版本是（免费的）monad，它也很有用：

instance Monad Tree where
    return = Leaf
    Leaf x >>= f = f x
    Branch t1 t2 >>= f = Branch (t1 >>= f) (t2 >>= f)

(>>=) 运算符对应于“叶替换”。

Functor 和 Applicative 实例也很有用。随着 GHC 7.10 的推出，当您定义 Monad 时，它们已成为强制性的。我们可以使用 monad 函数来定义它们：

instance Functor Tree where fmap = Control.Monad.liftM
instance Applicative Tree where pure = return; (<*>) = Control.Monad.ap

【讨论】：

【解决方案3】：

这在很大程度上取决于您的应用程序。如果树的形状是由元素决定的，前一个定义会更好，例如如果你有一个平衡的二叉树：

另一方面，如果您的树充当不受约束的元素的容器，而树的形状不依赖于它们，那么将值放在叶子上会更有意义。

This post Heinrich Apfelmus 很好地展示了这种方法。他定义了

data Tree v a = Leaf   v a
              | Branch v (Tree v a) (Tree v a)

所以a类型的值只是在叶子上，但是所有节点（内部和叶子）都用v类型注释，并且只需为v选择各种monoids，我们就会得到不同的有趣数据结构。

【讨论】：

【解决方案4】：

前者肯定更好，因为它可以表示任意二叉树，而后者则不然。比如第二个版本不能代表：

【讨论】：

我可以理解一种类型可以被视为“绝对更好”，因为它允许表示更多情况，但更灵活并不总是等同于“更好”。我的意思是——通过同样的论点，人们可以说玫瑰树比二叉树更好，因为它们可以代表更多的树。
@chi 二叉树在问题中明确提及（如果没有明确提及，那将是另一个问题）。二叉树是一个定义明确的概念，后一个版本不允许表示它们。
并非在所有情况下都更好。一些数据结构被实现为仅在叶子中有数据的树。例如，第二个版本可以更好地表示 Huffman 代码树。此外，您提到的两种情况都可以使用Tree (Maybe a) 用第二棵树表示（最终与第一个树同构）。
糟糕，实际上这不会是同构的。不过，我坚持我的另一点。