浮点运算中的结果如何四舍五入？

Question

我编写了这段代码，它只是简单地将 n 个数字的列表相加，以练习浮点运算，但我不明白：

我正在使用浮点数，这意味着我有 7 位精度，因此，如果我执行 10002*10002=100040004 操作，数据类型浮点数的结果将为 100040000.000000，因为我丢失了第 7 位以外的任何数字（程序仍然知道指数，如 here)。

如果这个程序中的输入是

3
10000
10001
10002

但是，您会看到，当这个程序计算 30003*30003=900180009 时，我们有 30003*30003=900180032.000000

我理解这个 32 出现是因为我正在使用 float，我的目标不是让程序更精确，而是理解为什么会发生这种情况。为什么是 900180032.000000 而不是 900180000.000000？为什么即使数字的大小相同，这个十进制噪声（32）也会出现在 30003*30003 而不是 10002*10002 中？感谢您的宝贵时间。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAX_SIZE 200


int main() 
{
int numbers[MAX_SIZE]; 
int i, N;
float sum=0;
float sumb=0;
float sumc=0;

printf("introduce n" );
scanf("%d", &N);

printf("write %d numbers:\n", N);
for(i=0; i<N; i++)
{
    scanf("%d", &numbers[i]);
}

int r=0;

while (r<N){
    sum=sum+numbers[r];
    sumb=sumb+(numbers[r]*numbers[r]); 
    printf("sum is %f\n",sum);
    printf("sumb is %f\n",sumb);
    r++;
}
sumc=(sum*sum);
printf("sumc is %f\n",sumc);
}

Answer 1

如下所述，10002 乘以 10002 的计算结果必须是 8 的倍数，而 30003 乘以 30003 的计算结果必须是 64 的倍数，因为数字的大小和位数可代表他们。尽管您的问题是关于“十进制噪声”，但这里没有涉及十进制数字。结果完全是由于四舍五入到 2 的幂的倍数。 （您的 C 实现似乎使用通用 IEEE 754 格式的二进制浮点数。）

当您将 10,002 乘以 10,002 时，计算结果必须是 8 的倍数。我将在下面解释原因。数学结果是 100,040,004。最接近的 8 倍数是 100,040,000 和 100,040,008。它们与精确结果相差甚远，用于打破平局的规则选择偶数倍数（100,040,000 是 12,505,000 的八倍，偶数，而 100,040,008 是 12,505,001 的八倍，奇数）。

许多 C 实现对 float 使用 IEEE 754 32 位基本二进制浮点。在这种格式中，数字表示为整数 M 乘以 2 的幂 ^e。整数 M 的大小必须小于 2²⁴。指数 e 可以从 -149 到 104。这些限制来自用于表示整数和指数的位数。

因此，这种格式的所有float 值都具有 M • 2^e 对于某些 M还有一些e。格式中没有十进制数字，只有一个整数乘以 2 的幂。

考虑数字 100,040,004。我们可以使用的最大 M 是 16,777,215 (2²⁴-1)。这还不够大，我们可以将 100,040,004 写为 M • 2⁰。所以我们必须增加指数。即使使用 2²，我们能得到的最大数也是 16,777,215 • 2² = 67,108,860。所以我们必须使用 2³。这就是为什么在这种情况下，计算结果必须是 8 的倍数。

因此，要在float 中生成 10,002•10,002 的结果，计算机使用 12,505,000 • 2³，即 100,040,000。

在 30,003•30,003 中，结果必须是 64 的倍数。确切的结果是 900,180,009。 2⁵ 是不够的，因为 16,777,215•2⁵ 是 536,870,880。所以我们需要 2⁶，即 64。64 的两个最接近的倍数是 900,179,968 和 900,180,032。在这种情况下，后者更接近（23 远比 41 远），因此选择了它。

（虽然我将格式描述为整数乘以 2 的幂，但也可以将其描述为二进制数字，小数点前有 1 个二进制数，小数点后有 23 个二进制数，调整指数范围以进行补偿. 这些在数学上是等价的。IEEE 754 标准使用后一种描述。教科书可能使用前一种描述，因为它使分析一些数值属性更容易。）

Answer 2

浮点运算以二进制而不是十进制完成。

浮点数实际上有 24 个二进制精度位，其中 1 个是符号位，其中 23 个称为有效位。这将转换为大约 7 个十进制数字的精度。

您正在查看的号码 900180032 已经是 9 位数字，因此最后两位数字（32）可能是错误的。像算术一样的舍入是用二进制完成的，只有将事物分解成二进制才能看到舍入差异的原因。

900180032 = 110101101001111010100001000000

900180000 = 110101101001111010100000100000

如果您从每个数字中的第一个 1 到最后一个 1（我用粗体表示的部分）计算，那就是存储该数字需要多少有效位。 900180032 只需要 23 个有效位来存储，而 900180000 需要 24 个有效位，这使得 900180000 成为不可能存储的数字，因为浮点数只有 23 个有效位。 900180032 是浮点数可以存储的最接近正确答案 900180009 的数字。

在另一个例子中

100040000 = 101111101100111110101000000

100040004 = 101111101100111110101000100

正确答案，100040004 有 25 个有效位，对于浮点数来说太多了。具有 23 个或更少有效位的最接近的数字是 10004000，它只有 21 个有效位。

有关浮点运算的更多信息，请点击此处http://steve.hollasch.net/cgindex/coding/ieeefloat.html