查找给定嵌套循环的时间复杂度答案

【问题标题】：Find time complexity of a given nested loop查找给定嵌套循环的时间复杂度
【发布时间】：2020-12-25 22:36:48
【问题描述】：

下面这个循环的时间复杂度是多少？

int sum = 0;
for(int n = N; n > 0; n/=2)
    for(int i = 0; i < n; i++)
    sum++

我发现内部循环运行N + N/2 + N/4 + N/8 + ... + 1 次，但现在我不知道如何继续。如何从这个循环中获得波浪号或大 O？

提前致谢。

【问题讨论】：

提示：N + N/2 + N/4 + ... + 1 = 2*N
为什么等于2*N？
如果答案是 2*N，那么波浪号是 2N，大 O 是 N，但我想知道你是如何得到 2*N 的
我不会向你证明，但直觉很简单。您从 N 开始，与 2N 的差为 N。您添加 N/2，差异缩小到 N/2，添加 N/4，它缩小到 N/4，依此类推。随着您添加更多项，与 2N 的差异会相应缩小，越来越小，但从未完全达到 2N。
@belismau 是的，它是O(2N) = O(N) （在复杂性理论中省略了常数因素）

【解决方案1】：

这个循环的 Big-O 是 O(N)，例如迭代次数对 N 的依赖性是线性的。

【讨论】：

【解决方案2】：

N + N/2 + N/4 + N/8 + ... + 1 形成一个 GP（几何进度），总和为 2N。在用大 O 定义时间复杂度时，我们丢弃了这个常数。所以你的问题的时间复杂度是 O(N)。

【讨论】：

如何将 N + N/2 + N/4 + N/8 + ... + 1 变为 2N？跨度>
第一次外循环的'n'值为N，因此内循环将运行N次，下一次将其除以n/=2的一半bcoz，因此内循环将运行N/2次，下一次time 内循环将运行 N/4 次，依此类推...