如果 pref(L) 是正则的，这是否意味着 L 也是正则的？

Question

我有这个家庭作业练习：

假设我们有一种语言 L。我们知道语言 pref(L)（L 的所有前缀，包括 L 本身中的所有单词）是一种常规语言。这是否意味着语言L 也是常规语言？

我将pref(L) 的 NFA 划分为（通过来自 q0 的 2 个 epsilon 转换）到 2 个单独的 NFA，其中 1 个定义 L，另一个定义 pref(L)\L。

我实际上得到的是L 的 NFA，这意味着它是常规的。

我不确定这种方式是否合法，或者是否合法。我很高兴有另一个线索。

提前致谢，

亚龙。

Answer 1

如果pref(L)是正则的，那么L也不一定是正则的。

例如，让 Σ = {a} 是一元字母表。我将声称如果 L 是 Σ 上的任何无限语言，那么 pref(L) = Σ*。要看到这一点，首先要注意 pref(L) ⊆ Σ* 因为每个 pref(L) 都是 Σ 上的语言。现在，考虑 Σ* 中的任何字符串，其形式必须为 aⁿ。如果 L 是 Σ 上的无限语言，它必须包含至少一个形式为 a^m 的字符串，其中 m ≥ n。那么 aⁿ 将是 a^m 的前缀，所以 aⁿ ∈首选项（L）。这表明 Σ* ⊆ pref(L) 和那个 pref(L) ⊆ Σ*，所以在这种情况下 Σ* = pref(L)。

现在，我们需要做的就是在 Σ = {a} 上找到一个非常规语言。例如，以语言 { a²ⁿ | n∈ N } 长度为 2 的幂的所有字符串。可以使用 Myhill-Nerode 定理或抽水引理证明这种语言不规则。但是，通过上面的结果，我们知道pref(L)是一个正则语言。

希望这会有所帮助！