忙碌的海狸功能对于 n 状态忙碌的海狸游戏来说是独一无二的吗？答案

【问题标题】：Is the busy beaver function unique for an n-state busy beaver game?忙碌的海狸功能对于 n 状态忙碌的海狸游戏来说是独一无二的吗？
【发布时间】：2011-11-11 09:34:38
【问题描述】：

对于给定的 n 状态 busy beaver game，busy beaver function 是唯一的，还是可能有多个函数具有相同的最高分数？也许这两种方法都没有被证明？

【问题讨论】：

一个非常有趣的问题，但也许更适合cstheory.stackexchange.com？

标签： algorithm turing-machines

【解决方案1】：

是的。

busy beaver 函数是这样定义的

\Sigma(n) = max { \sigma(M) | M is a halting n-state 2-symbol Turing machine}

如果存在，最大值是唯一的，它确实如此（Rado 证明了这一点）。这只是一个数字。

因此 \Sigma(n) 也是唯一的，因此离散函数 \Sigma: N --> N 也是唯一的。可能有多种方法可以将 \Sigma 扩展到连续函数，但为什么有人要这样做却超出了我的范围。

计算 \Sigma 的小值是可能的；查看OEIS entry 以获得最大的已知值。

【讨论】：

【解决方案2】：

正如@PengOne 所指出的，这个功能确实是独一无二的。它是一个完全定义的 N -> N 离散函数。

但是，从您的公式（“或者可能有多个函数具有相同的最高分数”）也可以理解为您想知道是否有多个繁忙的海狸给出相同的最大值。如果是这样的话，那么是的，至少有 2 个忙碌的海狸给定一个 N，一个是通过简单地反转移位来从另一个构建的。

【讨论】：

没关系。我明白。因为映射是一样的，只是中间步骤不同。谢谢。
@Daniel，我认为您使用的是非标准术语。标准术语（例如，在您链接的维基百科文章中使用）是忙海狸函数是一个函数，它告诉您所有 n 状态图灵机的最高分数。只有一个功能。但是，有多个图灵机可以达到这个最大值（如 Luchian Grigore 所述）。这些机器可以被认为是图灵机器语言中的程序。您似乎在称它们为函数，这在这里引起了混乱。
@sligocki：谢谢。我误解了。

【解决方案3】：

很久以前就有人问过这个问题，但我觉得这个很有趣：http://www.win.tue.nl/~wijers/shallit.pdf

另外，我编写了一个算法来强力解决 3 态忙海狸问题，它给了我大约 22 个非对称配置，产生了 6 个符号（连续或不连续）。这意味着如果您考虑可以交换状态 1 和状态 2 以及反转第一个转换，则可能有 60 多种配置。

但这仅适用于生成的符号数量，而不是“最长执行”的符号。

【讨论】：