简化以下布尔表达式并使用卡诺图进行验证

Question

我在以代数方式简化这两个布尔表达式并用卡诺图证明它们时遇到了麻烦。我怎样才能做到这一点？

这是我的两个表达方式：

1) (X * Y) + (X' * Y * Z')+ (Y * Z)

2) (X * Y') + Z + (X' + Y)+ (Y * Z)

我尝试过使用布尔定理和定律来减少它们，但我总是想出不同的答案。我的答案通常是这样的。

1) (Y * Z') + (X' * Y)

2) (X' * Y') + (X * Y' * Z')

我不知道我的K-Map是不是错了，但我确实需要有人帮助我了解如何解决这个问题以及我需要得到答案的步骤或规律，以便我能够掌握它。这是考试练习，我不擅长布尔代数。我很感激。

Answer 1

让我们从第一个表达式开始：

E = XY + X'YZ' + YZ

这三个词都有Y，那么我们可以把它分解出来

E = Y(X + X'Z' + Z)

现在让我们专注于括号中的表达式S = X + X'Z' + Z：

S = X + X'Z' + Z
  = X + (X + Z)' + Z         (De Morgan)
  = (X + Z) + (X + Z)'       (regrouping)

所以，尽管这看起来仍然很复杂，但它具有以下形式

S = p + p'

p = X + Z，对吧？但是p + p' = 1（或true）无论p 的值如何。因此表达式S 是1，我们得到

E = Y(X + X'Z' + Z) = YS = Y1 = Y

换句话说，第一个表达式简化为Y。

还要注意，不重写S = 1 并不难理解。有三种情况： (a) 如果X 是true，那么表达式肯定是true。 (b) 如果Z 是true，则结果也是true。 (c) 如果X 和Z 都不是true，那么两者都是false 并且X'Z' 是true。因此，在这 3 种情况下，至少有一个术语是 true，因此它们的总和。

现在让我们考虑第二个表达式

F = XY' + Z + (X' + Y) + YZ

首先要注意的是XY'是(X' + Y)的反义词：

(X' + Y) = (XY')'            (De Morgan)

所以，

F = XY' + (XY')' + Z + YZ

同样，尽管XY' + (XY')' 看起来很复杂，但它是p + p' 形式的表达式。但是p + p' = 1（总是true），因此

F = 1 + Z + YZ = 1

无论Y 和Z 的值如何。所以，第二个表达式只不过是1（又名true）。