给定一个区间向量，输出区间内重叠次数最多的任意一个数字

Question

假设我们这样定义区间

struct Interval {
  float start;
  float end;
  Interval() : start(0), end(0) {}
  Interval(float s, float e) : start(s), end(e) {}

};

如何输出重叠次数最多的区间内的任意一个数字？

例如，给定 [1.2,3.4],[2.6,6.8],[8.5,10.2],[15.1,18.7] 我们可以像 2.7 一样输出 [2.6, 3.4] 内的任何数字，因为 [2.6, 3.4] 是重叠次数最多（两次）的区间。

我的想法是按“开始”对间隔进行排序，然后在所有间隔中运行 for 循环。对于每个区间，我们计算后面的区间有多少个“开始”小于或等于其“结束”，并更新每个循环的最大值。

但这看起来像一个 O(n2) 的解决方案，我们可以做得更好吗？

Answer 1

这是一个简单的O(n log n) 解决方案，它使用事件和扫描线：

1. 有两种类型的事件：间隔开始和间隔结束。

2. 我们可以按坐标对所有事件进行排序（如果两个事件坐标相同，则对应区间开始的那个应该先走。如果它们是相同的类型，它们可以进入任何一个顺序）。

3. 现在我们可以遍历间隔的排序数组，并在看到间隔开始时将 +1 添加到计数器，当看到结束时将 -1 添加到计数器。计数器的最大值就是答案。

4. 为什么它是正确的？在任何时候，计数器的值都是从当前位置之前开始到之后结束的间隔数。这正是我们需要最大化的。

时间复杂度为O(n log n)（我们只需对事件数组进行排序，然后对其进行一次线性传递）。