我正在自学 Haskell，我想知道以下类型签名：
Prelude> :t ($)
($) :: (a -> b) -> a -> b
Prelude>
我应该如何解释（不是双关语）？
一个半相似的结果也被证明是令人费解的：
Prelude> :t map
map :: (a -> b) -> [a] -> [b]
Prelude>
【问题讨论】：
标签： haskell types type-signature
($) 只是函数应用程序。它获取一个a->b 类型的函数，一个a 类型的参数，应用该函数并返回一个b 类型的值。
map 是一个很好的例子，说明阅读函数类型签名如何帮助理解它。 map 的第一个参数是一个接受a 并返回b 的函数，它的第二个参数是一个[a] 类型的列表。
所以map 将a->b 类型的函数应用于a 值列表。结果类型确实是[b] 类型——b 值的列表！
(a->b)->[a]->[b] 可以解释为“接受一个函数和一个列表并返回另一个列表”，也可以解释为“接受一个a->b 类型的函数并返回另一个[a]->[b] 类型的函数”。
当你这样看时，map "upgrade" f （在这种情况下经常使用术语 "lift"）来处理列表：如果 double 是一个将整数加倍的函数，那么 map double 是将列表中的每个整数加倍的函数。
【讨论】：
f :: a -> b -> c 和f :: a -> (b -> c) 是等价的。这实际上是因为 Haskell 函数可以部分应用（将 f 应用于某些 a 会返回从 b 到 c 的函数）。当使用g :: (a -> b) -> c 代替时，它特别表示您必须将函数应用于g，并且您不能部分应用g。
(a -> b) 对应于(*2)，因为在我们的示例中a 和b 是Int，而(*2)::Int -> Int。 (a -> b) 是一个接受a 类型的单个值并返回b 类型的单个值的函数。但是map (*2)，由于部分应用，属于[a]->[b] 类型——接受a 列表并返回b 列表。
我将从map 开始。 map 函数将操作应用于列表中的每个元素。如果我有
add3 :: Int -> Int
add3 x = x + 3
然后我可以使用map 将其应用于Ints 的整个列表：
> map add3 [1, 2, 3, 4]
[4, 5, 6, 7]
所以如果你看一下类型签名
map :: (a -> b) -> [a] -> [b]
您会看到第一个参数是(a -> b)，它只是一个接受a 并返回b 的函数。第二个参数是[a]，它是a 类型值的列表，返回类型[b]，是b 类型值的列表。所以用简单的英语来说，map 函数将一个函数应用于值列表中的每个元素，然后将这些值作为列表返回。
这就是使map 成为高阶函数的原因，它将函数作为参数并用它来处理。另一种查看map 的方法是在类型签名中添加一些括号来实现
map :: (a -> b) -> ([a] -> [b])
所以你也可以把它想象成一个函数，将一个函数从a 转换为b 到一个从[a] 到[b] 的函数。
函数($)具有类型
($) :: (a -> b) -> a -> b
和使用一样
> add3 $ 1 + 1
5
它所做的只是将 right 的内容（在本例中为 1 + 1）传递给 left 上的函数，此处为 add3。为什么这很重要？它有一个方便的 fixity 或运算符优先级，这使得它等同于
> add3 (1 + 1)
所以右边的任何东西在被传递到左边之前基本上都被包裹在括号中。这只是使它对于将多个函数链接在一起很有用：
> add3 $ add3 $ add3 $ add3 $ 1 + 1
比
> add3 (add3 (add3 (add3 (1 + 1))))
因为您不必关闭括号。
【讨论】：
add3 $ add3 $ add3 $ add3 $ 1 + 1 和 add3 . add3 . add3 . add3 $ 1 + 1 之间有什么实际区别吗？
(a -> b) -> [a] -> [b] 和(a -> b) -> ([a] -> [b]) 是等价的，这是否意味着-> 是右关联的？
a -> b -> c -> d ~= a -> (b -> (c -> d))，但 ((a -> b) -> c) -> d 不能再减少了。
好吧，如前所述，$ 可以很容易理解，如果您忘记了柯里化并看到它就像在 C++ 中一样
template<typename A, typename B>
B dollar(std::function<B(A)> f, A x) {
return f(x);
}
但实际上，这不仅仅是将函数应用于值！ $ 和 map 的签名之间的明显相似性实际上具有非常深刻的范畴论意义：两者都是函子的态射作用的例子！
在我们一直使用的 Hask 类别中，对象是类型。 （That is a bit confusionsome，但别担心）。态射是函数。
最著名的 (endo-)函子 是那些具有 the eponymous type class 实例的函子。但实际上，在数学上，函子只是将对象映射到对象和态射到态射的东西1。 map（我想是双关语！）就是一个例子：它接受一个对象（即类型）A 并将其映射到类型[A]。而且，对于A 和B 的任意两种类型，它需要一个态射（即函数）A -> B，并将其映射到相应的[A] -> [B] 类型的列表函数。
这只是仿函数类签名操作的一个特例：
fmap :: Functor f => (a->b) -> (f a->f b)
数学并不要求这个fmap 有一个名字。因此也可以有 identity functor，它简单地将任何类型分配给自身。而且，每个态射对自身：
($) :: (a->b) -> (a->b)
“身份”显然存在更普遍，你也可以将任何类型的值映射到自己。
id :: a -> a
id x = x
果然，一个可能的实现是那么
($) = id
1头脑，而不是任何东西，映射对象和态射是函子......它确实需要满足functor laws。
【讨论】：