尾递归斐波那契

Question

如何在 O(n) 中实现没有循环运行的递归斐波那契函数？

Answer 1

通常我会反对发布这样的家庭作业问题的答案，但到目前为止发布的所有内容似乎都过于复杂了。正如上面的 cmets 所说，您应该像迭代一样使用递归来解决问题。

这是迭代解决方案：

def fib(n):
  a, b = 0, 1
  while n > 0:
    a, b = b, a+b
    n -= 1
  return a

这是一个等效的递归解决方案：

def fib(n):
  def fib_help(a, b, n):
    return fib_help(b, a+b, n-1) if n > 0 else a
  return fib_help(0, 1, n)

请注意，在这两种情况下，我们实际上都计算了 F_n+1，但返回 F_n 作为结果。这与你得到的“提示”非常吻合。

我希望您花时间比较这两种解决方案，并说服自己它们是等价的。了解如何将迭代解决方案转换为等效的递归解决方案（反之亦然）是一项很好的开发技能。

Answer 2

用于查找第 n 个斐波那契数的 Scala 代码。 更多关于尾递归的信息http://nerds.logdown.com/posts/1406258-n-th-fibonacci-number

object Main {
     def main(args: Array[String]) {
        println(fib(9));
        println(fib(8));
        println(fib(7));
        println(fib(6));
        println(fib(5));
        println(fib(4));
        println(fib(3));
        println(fib(2));
        println(fib(1));
        println(fib(0));
      }
      def fib(n: Int): Int = {
        def fib(n: Int, p :Int, c: Int): Int ={
          if (n == 0) return -1; // undefined
          if (n == 1) return p;
          fib(n-1, c, p + c)
        }
        fib(n, 0, 1);
      }
    }

Answer 3

如果有人正在寻找 JavaScript 解决方案：

function _fib(n, left, right) {
  switch (n) {
    case 0: return 0
    case 1: return right
    default: return _fib(n - 1, right, left + right)
  }
}

function fib(n) {
  return _fib(n, 0, 1)
}

通过尾调用优化在 O(n) 时间和 O(1) 空间中运行。

Answer 4

要在线性时间内解决这个问题，您必须使用一种称为记忆化的动态编程技术。

伪代码中的斐波那契算法，使用记忆化，如下所示：

memoryMap[n]

func fib(int n)
    if (n is in memoryMap) then
        return memoryMap[n]
    if (n <= 1) then
        memoryMap[n] = n
    else
        memoryMap[n] = fib(n-1) + fib(n-2)

    return memoryMap[n]

解释一下，每次调用 fib(x) 后，您都将结果存储在内存映射中。对于每个后续调用，对 fib(x) 的所有查找都是免费的：也就是说，在内存中查找结果只需 O(1) 时间。