我的函数的时间复杂度是多少？ [复制]

Question

开始研究复杂性，我正在努力解决这个问题：

void what(int n) {
    int i;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        int x = n;
        while (x > 0)
            x -= i;
    }
}

嗯，第一个 for 循环显然是 O(n)。第一次迭代是O(n)，第二次是O(n/2).. 我猜是log(n) 次？ 这意味着 O(n) * O(log(n)) = O(n * log(n)) complexity。我做对了吗？

编辑：（不是重复的）我知道大 O 是什么。我已经要求在特定情况下进行正确的评估。

Answer 1

外循环运行n 次。

对于每次迭代，内部循环运行n / i 次。

总运行次数为：

n + n/2 + n/3 + ... + n/n

渐近（忽略整数算术舍入），这简化为

n * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)

这个系列松散地向n * log(n)收敛。

因此复杂度是 O(N.log(N)) 如您所料。

Answer 2

第一个内部循环运行 n 次
第二个内部循环运行 n/2 次
第三个内循环运行n/3次
.. 最后一个运行一次

所以n + n/2 + n/3 + ... + 1 = n(1+1/2+1/3+1/4 + ... +1/n)。

这是 n 乘以调和级数之和，它没有很好的封闭形式表示。但如图所示here 是O(log(n))。所以总的来说算法是O(n log(n))

Answer 3

作为替代方法，使用变量替换 y = n - x 后跟 Sigma 表示法来分析算法的内部 while 循环的迭代次数。

对于每个内部while循环，对于n-1不是i的倍数，即(n-1) % i != 0的情况，上述高估了1的迭代次数。随着我们继续，我们将假设(n-1)/i 是所有i 值的整数，因此高估了内部while 循环中的迭代总数，随后包括下面(i) 处的减号或等号.我们继续进行 Sigma 符号分析：

我们在(ii)，通过相关的积分近似了n:th harmonic number。因此，您的算法在O(n·ln(n)) 中渐近运行。

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离开渐近行为并研究算法的实际增长，我们可以使用@chux精确的(n,cnt)（其中cnt是内部迭代次数）对的nice样本数据（参考他的答案），并比较从上面估计的迭代次数，即n(1+ln(n))-ln(n)。很明显，估计值与实际计数完全一致，请参见下图或this snippet for the actual numbers。

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最后请注意，如果我们让n->∞ 与上面的1/i 相加，那么结果系列就是infinite harmonic series，奇怪的是，这是发散的。后者的证明利用了这样一个事实，即在非零项的无限和中，其本身自然是无限的。然而，在实践中，对于一个足够大但不是无限的 n，ln(n) 是总和的适当近似值，并且这种散度与我们这里的渐近分析无关。

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Answer 4

通过测试和图形来尝试这一点。 log2 vs log2 图看起来相当线性。大于线性 O(n) 和小于 O(n*log(n)) 之间的东西。 “得出”你自己的结论。

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使用数学派生公式，计算出的 O() 是 O(n * log(n)) 的上限。这使用“循环迭代的分数”，将计数增加一个分数而不是 1。例如当 n 为 6 时，迭代次数为 6 + 3 + 2 + 1.5 + 1.2 + 1 = 14.7 次循环，而不是实际的 6 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 = 16。这种差异与 @987654327 相比相对不那么显着@ 增加，因此略小于 O(n * log(n)) 增长。因此，通过不忽略使用整数数学的代码，我们有一个更具挑战性的问题。

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unsigned long long what(int n) {
  unsigned long long cnt = 0;
  int i;
  for (i = 1; i <= n; i++) {
    int x = n;
    while (x > 0) {
      x -= i;
      cnt++;
    }
  }
  return cnt;
}

void wtest(int n) {
  unsigned long long cnt = what(n);
  printf("%d %llu\n", n, cnt);
  fflush(stdout);
}

void wtests(void) {
  int i = INT_MAX/2 + 1;
  while (i > 0) {
    wtest(i);
    i /= 2;
  }
}

int main(void) {
  wtests();
  return 0;
}

输出

1073741824 23567395117
536870912 11411566988
268435456 5519718329
134217728 2666826555
67108864 1286897093
33554432 620190504
16777216 298466265
8388608 143418602
4194304 68802063
2097152 32947406
1048576 15746897
524288 7510048
262144 3573331
131072 1695816
65536 802493
32768 378537
16384 177921
8192 83286
4096 38803
2048 17973
1024 8275
512 3782
256 1713
128 765
64 337
32 145
16 61
8 24
4 9
2 3
1 1