乘以特定维度矩阵

Question

假设我有矩阵 A 和 B。

A 是一个三维数组/张量（？）。

[1,2,3,4]
[5,6,7,8]
[1,2,3,4]
[5,6,7,8]

说有 4 个不同的 2d 矩阵，就像上面的那样跨越第三维。

B 是一个矩阵。

[1,2,3,4]

B中也有4个，每个都是一样的。

如何将 B 中的每个向量（？）与 A 中的每个二维矩阵相乘。

[1,2,3,4]*[1,2,3,4]*[1;2;3;4]
          [5,6,7,8]
          [1,2,3,4]
          [5,6,7,8]

将有四个上述类型的乘法得到四个 4x1 向量。 我已经用 numpy 试过了：

y = numpy.arange(4).reshape(1,4)
z = numpy.arange(64).reshape(4,4,4)
y.dot(z).dot(numpy.transpose(y))
------
Output:
array([[[ 420],
        [ 996],
        [1572],
        [2148]]])

它可以按我的意愿工作。但我不知道 numpy 是如何广播的，我想知道出于学习目的，以及其他用于处理不同库中矩阵的包以不同方式处理广播。我试图以不同的方式平铺 B 以获得相同的结果，但没有任何效果。如果我没有解释清楚，请告诉我。

还希望从 numpy 获得 4x1 而不是 3d 返回。

Answer 1

您可能想查看np.einsum。举个例子：

>>> mat = np.arange(80).reshape(4, 4, 5)
>>> vec = np.arange(12).reshape(3, 4)
>>> np.einsum('ij,jkl,ik->il', vec, mat, vec)
array([[ 2100,  2136,  2172,  2208,  2244],
       [20900, 21384, 21868, 22352, 22836],
       [58900, 60344, 61788, 63232, 64676]])

如果我没有弄错索引，我有 5 个形状为 4x4 的矩阵和 3 个长度为 4 的向量，并且正在用每个向量计算每个矩阵的 3x5 二次形式。

Answer 2

请注意，np.dot 在不同维度数组中的行为与here 不同：

对于二维数组，它等价于矩阵乘法，

对于一维数组到向量的内积（没有复杂的 共轭）。

对于 N 维，它是最后一个的和积 a的轴和b的倒数第二个

在您的示例中，z 有 3 个维度。

另外，还有一个important distinction between a numpy array and a numpy matrix：

您在示例中使用了数组。 Numpy 矩阵仅是 2D 的，矩阵乘法是通过 * 运算符实现的。 （对于数组，这将执行逐个元素的乘法）

Answer 3

为了使尺寸保持直线，我将使用变量。通常在测试中我喜欢在每个维度上使用不同的尺寸（例如z=...reshape(3,4,5)），所以错误会跳出来。

k,j,l = 4
y = numpy.arange(4).reshape(1,j)
z = numpy.arange(64).reshape(k,j,l)

y.dot(z) 将结合y 的最后一个暗淡与z (j) 的倒数第二个（参见其文档）。结果将是(1,k,l)。

np.einsum 有助于确认这一点：

print y.dot(z)
print np.einsum('ij,kjl',y,z) # note the repeated j

两者都产生

array([[[ 56,  62,  68,  74],
        [152, 158, 164, 170],
        [248, 254, 260, 266],
        [344, 350, 356, 362]]])

y.T (转置) 是 (j,1)。所以第二个点将(1,k,l) 与(j,1) 组合在一起，最后一个暗淡（l）与第一个j 组合在一起，得到(1,k,1)，你的3d 数组：

array([[[ 420],
        [ 996],
        [1572],
        [2148]]])

np.einsum('ijl,lm', np.einsum('ij,kjl',y,z), y.T) # note the repeated l

这个einsum 可以合并为一个调用（使用相同的索引）：

np.einsum('ij,kjl,ml',y,z,y)

不涉及广播。也就是说，没有添加或扩展任何维度。您只需要在维度通过dot 时系统地跟踪它们。

要获得更小维度的结果，您需要挤出 1 或重塑结果。如果您从一维 y 开始，您会得到一维结果

y1=y.squeeze()
np.einsum('j,kjl,l',y1,z,y1)
y1.dot(z).dot(y1.T)
# array([ 420,  996, 1572, 2148])