幺半群的实际用途是什么？

Question

我正在阅读 Learn You a Haskell 并且我已经介绍了应用程序，现在我正在学习幺半群。我对两者的理解都没有问题，尽管我发现 applicative 在实践中很有用，而 monoid 并非如此。所以我想我对 Haskell 有一些了解。

首先，说到Applicative，它创建了类似统一语法的东西来对“容器”执行各种操作。所以我们可以使用普通函数对Maybe、列表、IO（我应该说monads吗？我还不知道monads）执行操作，函数：

λ> :m + Control.Applicative
λ> (+) <$> (Just 10) <*> (Just 13)
Just 23
λ> (+) <$> [1..5] <*> [1..5]
[2,3,4,5,6,3,4,5,6,7,4,5,6,7,8,5,6,7,8,9,6,7,8,9,10]
λ> (++) <$> getLine <*> getLine
one line
 and another one
"one line and another one"
λ> (+) <$> (* 7) <*> (+ 7) $ 10
87

所以 applicative 是一种抽象。我认为我们可以没有它，但它有助于清楚地表达一些想法模式，这很好。

现在，让我们看看Monoid。它也是抽象且非常简单的一种。但它对我们有帮助吗？对于书中的每个示例，似乎都有更清晰的方法来做事：

λ> :m + Data.Monoid
λ> mempty :: [a]
[]
λ> [1..3] `mappend` [4..6]
[1,2,3,4,5,6]
λ> [1..3] ++ [4..6]
[1,2,3,4,5,6]
λ> mconcat [[1,2],[3,6],[9]]
[1,2,3,6,9]
λ> concat [[1,2],[3,6],[9]]
[1,2,3,6,9]
λ> getProduct $ Product 3 `mappend` Product 9
27
λ> 3 * 9
27
λ> getProduct $ Product 3 `mappend` Product 4 `mappend` Product 2
24
λ> product [3,4,2]
24
λ> getSum . mconcat . map Sum $ [1,2,3]
6
λ> sum [1..3]
6
λ> getAny . mconcat . map Any $ [False, False, False, True]
True
λ> or [False, False, False, True]
True
λ> getAll . mconcat . map All $ [True, True, True]
True
λ> and [True, True, True]
True

所以我们注意到了一些模式并创建了新的类型类......好吧，我喜欢数学。但从实际的角度来看，Monoid 的意义何在？它如何帮助我们更好地表达想法？

Answer 1

加布里埃尔·冈萨雷斯 (Gabriel Gonzalez) 在他的博客中写了很多关于为什么你应该关心的信息，而且你真的应该关心。您可以阅读它here（另请参阅this）。

这是关于 API 的可扩展性、架构和设计。这个想法是“传统架构”说：

将多个 A 类型的组件组合在一起，生成一个 B类型的“网络”或“拓扑”

这种设计的问题在于，随着您的程序扩展，重构时您的地狱也会如此。

所以你想改变模块 A 来改进你的设计或领域，所以你这样做了。哦，但是现在依赖于 A 的模块 B 和 C 坏了。你修复了B，太好了。现在你修复了 C。现在 B 又坏了，因为 B 也使用了 C 的一些功能。我可以永远继续下去，如果你曾经使用过 OOP - 你也可以。

然后就是 Gabriel 所说的“Haskell 架构”：

将类型 A 的多个组件组合在一起以生成一个新的 相同类型 A 的组分，与其取代部分在性质上没有区别

这也优雅地解决了问题。基本上：不要对模块进行分层或扩展以制作专门的模块。
相反，结合。

所以现在，鼓励的是，不要说“我有多个 X，所以让我们创建一个类型来表示它们的联合”，而是说“我有多个 X，所以让我们将它们组合成一个 X”。或者用简单的英语：“让我们首先制作可组合类型。” （你感觉到幺半群的潜伏了吗？）。

假设您想为您的网页或应用程序制作一个表单，并且您拥有创建的模块“个人信息表单”，因为您需要个人信息。后来你发现你也需要“更改图片格式”所以就这么快写了。现在你说我想把它们结合起来，所以我们来做一个“个人信息和图片表格”模块。在现实生活中的可扩展应用程序中，这可能而且确实会失控。可能不是表格，而是演示，您需要撰写和撰写，因此您最终会得到“个人信息 & 更改图片 & 更改密码 & 更改状态 & 管理朋友 & 管理愿望清单 & 更改视图设置 & 请不要再扩展我＆请＆请停止！＆停止！！！！“模块。这并不漂亮，您将不得不在 API 中管理这种复杂性。哦，如果你想改变任何东西 - 它可能有依赖关系。所以..是的..欢迎来到地狱。

现在让我们看看另一个选项，但首先让我们看看它的好处，因为它会引导我们：

这些抽象可以无限扩展，因为它们始终保留 可组合性，因此我们永远不需要分层进一步的抽象 在上面。这是你应该学习 Haskell 的原因之一：你学会了如何 构建扁平化架构。

听起来不错，因此，与其制作“个人信息表单”/“更改图片表单”模块，不如停下来想想我们是否可以让这里的任何东西可组合。好吧，我们可以做一个“表格”，对吧？也会更抽象。
然后为您想要的所有内容构建一个，将它们组合在一起并获得一种形式，就像任何其他形式一样。

因此，您不会再得到一棵杂乱无章的复杂树，因为您采用两种形式并获得一种形式的关键。所以Form -> Form -> Form。正如您已经清楚地看到的那样，这个签名是mappend 的一个实例。

替代方案和传统架构可能看起来像a -> b -> c，然后是c -> d -> e，然后......

现在，有了表格就没有那么具有挑战性了；挑战在于在现实世界的应用程序中使用它。要做到这一点，只需尽可能多地问自己（因为它得到了回报，正如你所见）：我怎样才能使这个概念可组合？既然幺半群是实现这一目标的一种简单方法（我们想要简单），请先问自己：这个概念怎么是幺半群？

旁注：幸运的是，Haskell 非常不鼓励您扩展类型，因为它是一种函数式语言（没有继承）。但是仍然可以为某事创建一个类型，为某事创建另一种类型，并在第三种类型中将两种类型都作为字段。如果这是为了作曲 - 看看你是否可以避免它。

Answer 2

好吧，我喜欢数学。但从实际的角度来看，Monoid 的意义何在？它如何帮助我们更好地表达想法？

这是一个 API。一个简单的。对于支持的类型：

• 元素为零
• 有追加操作

很多类型都支持这些操作。因此，为操作和 API 命名有助于我们更清楚地捕捉事实。

API 很好，因为它们让我们重用代码和重用概念。意味着更好、更易维护的代码。

Answer 3

重点是，当您将Int 标记为Product 时，您表达了整数相乘的意图。并通过将它们标记为Sum，将它们添加在一起。

然后您可以在两者上使用相同的mconcat。这用于例如在Foldable 中，其中一个foldMap 表达了折叠包含结构的想法，同时以特定的幺半群方式组合元素。

Answer 4

一个非常简单的例子是foldMap。只需将不同的幺半群插入这个单一函数，您就可以计算：

• first 和 last 元素，
• 元素的sum 或product（从这也是它们的平均值等），
• 检查all 元素或any 是否具有给定属性，
• 计算最大或最小元素，
• 将元素映射到集合（如列表、sets、字符串、Text、ByteString 或 ByteString Builder）并将它们连接在一起 - 它们都是幺半群。

此外，幺半群是可组合的：如果 a 和 b 是幺半群，那么 (a, b) 也是。因此，您可以轻松地一次计算多个不同的幺半群值（例如计算元素平均值时的总和和乘积等）。

虽然你可以在没有幺半群的情况下完成所有这些工作，但使用 foldr 或 foldl 会更麻烦，而且通常效率也更低：例如，如果你有一个平衡二叉树并且你想找到它的最小值和最大元素，你不能同时使用foldr（或两者都使用foldl），对于其中一种情况，一个总是O(n)，而使用foldMap使用适当的幺半群，这两种情况都是 O(log n)。

这只是一个函数foldMap！还有许多其他有趣的应用程序。举个例子，exponentiation by squaring 是一种有效的计算能力方式。但它实际上与计算能力无关。你可以为任何幺半群实现它，如果它的<> 是O(1)，你就有一种有效的方法来计算 n-times x <> ... <> x。突然间，您可以进行有效的矩阵求幂运算并计算 n-th Fibonacci number 只需 O(log n) 乘法。请参阅 semigroup 中的times1p。

另见Monoids and Finger Trees。