在矩阵中搜索值的算法设计

Question

这个问题不是作业，只是出于个人兴趣，主要是我的好奇心

我的教授在课堂上讲了一会儿这个问题，但他没有说太多。下面是问题：

给定一个 m x n 矩阵 A，其整数元素沿水平和垂直方向排序 方向分别。我需要开发一个递归程序来搜索查询值是否为 在 A 中。讨论你的设计的时间复杂度。

所以我想了一会儿。我的第一种方法是检查基本情况：第一个元素和最后一个元素

检查是否是第一个元素> item 检查是否最后一个元素

item 是我要找的东西

这是虚矩阵：（x可以是任意数字，但这个矩阵是垂直和水平排序的）

             first     x          x        x         x
                 x     x          x        x         x
                 x     x         mid       x         x
                 x     x          x        x         x
                 x     x          x        x         last

在我检查了基本情况并确保我想要找到的“项目”在这个矩阵的范围内之后，我不知道从矩阵中的“中间”检查是否可以（比如二进制搜索）。如果 item mid，则关注右半部分。

但是，然后我尝试制作一个如下所示的矩阵，我的“项目”是 10

                 1     2          3        4         5
                 2     4          7        8          9
                 3     6          10       11         12

如果我按照我之前说的方式进行：由于 10 大于中间的“7”，因此我将重点放在右侧。然后我检查“8”，因为 10 大于“8”，所以我搜索正确的部分。但是 10 是不对的……

谁能给我一些想法或见解如何解决这个问题？非常感谢

Answer 1

时间方面的最佳解决方案是O(1)，它只是使用哈希表跟踪矩阵中的哪些元素。如果空间有问题，也可以使用布隆过滤器。

但是，由于它们已排序，因此可能不值得添加所有机器。

我认为问题正在寻找的解决方案是O(N) 解决方案（其中矩阵的大小为NxN）；从左上角到左下角到右下角，直到找到比查询更大的元素。然后，您通过向右上角蠕动搜索“水平曲线”，每次执行比较以查看您是否超过或低于您的查询（向右或向上取决于）。

您可以考虑的另一种方法是跟踪窗口lower_c higher_c 的每一列c，从左到右。此窗口的大小始终为 2。

Answer 2

从左下角开始（在您的示例中为 3）。

1. 如果当前值小于您要搜索的值，请向右走。
2. 如果当前值大于您要搜索的值，则向上。
3. 如果当前值等于您要搜索的值，则返回 true。
4. 如果您超出矩阵，请返回false。

这是O(n + m)，其中n 和m 是矩阵中的行数和列数。这是因为在每个步骤中，您都完全排除了整行或整列。