合并排序复杂度答案

【问题标题】：Merge sort complexity合并排序复杂度
【发布时间】：2013-10-21 20:46:48
【问题描述】：

我们知道合并排序对于以下算法的时间复杂度为 O(nlogn)：

void mergesort(n elements) {
mergesort(left half);  ------------ (1)
mergesort(right half); ------------(2)
merge(left half, right half);

以下实现的时间复杂度是多少？

(1)
void mergesort(n elements) {
    mergesort(first quarter);  ------------ (1)
    mergesort(remaining three quarters); ------------(2)
    merge(first quarter, remaining three quarters);

(2)
void mergesort(n elements) {
    mergesort(first quarter);  ------------ (1)
    mergesort(second quarter); ------------(2)
    mergesort(third quarter);  ------------ (3)
    mergesort(fourth quarter); ------------(4)
    merge(first quarter, second quarter,third quarter, fourth quarter);

请详细说明您是如何找到复杂性的。

【问题讨论】：

这似乎是一道作业题。没问题，但至少解释一下你的想法。我们不是在这里给你一个准备好复制粘贴的答案。
我有一个 smilar ，和作业不一样的问题。我计算了递归关系，每次都得到nlogn的答案。觉得很奇怪。

标签： algorithm sorting merge time-complexity

【解决方案1】：

请注意，这不是您问题的确切答案，而是一个提示。

首先我们需要了解默认归并排序的时间复杂度是 n(log n)。

如果我们有 8 个元素并且默认情况下合并排序方法，如果我们每次将它们分成两半直到我们到达仅包含一个元素的组，这将需要我们 3 步。

所以这意味着mergesort在N个元素上被调用了3次。这就是为什么时间复杂度是 3*8 即 (log N)*N

如果您将默认分区从一半更改为其他比例，您必须计算达到 1 个元素的组需要多少步。

另请注意，此答案仅旨在解释如何计算复杂性。所有分区方法的大 O 复杂度都是相同的，如果以有效的方式实现，即使其他 2 个分区也将具有 N(logN) 的精确复杂度

【讨论】：

但是合并步骤的复杂度不会增加吗？因此，随着间隔数量的增加，整体复杂性也会增加。

【解决方案2】：

仍然是 O (n log n)，因为 n 的 log base 4 = log n / log 4，最终是一个常数。

[编辑]

合并排序算法与k分裂的递归关系如下。我假设将 k 个排序后的数组与总共 n 个元素合并花费 n log2(k)，log2 表示 log base 2。

T(1) = 0
T(n) = n log2(k) + k T(n/k)

我可以解决递归关系：

T(n) = n log2(n)

不管k的值是多少。

【讨论】：

那么，一旦我们增加编号，关系会是什么样子。间隔？我看到的是分母增加，时间复杂度降低？
对于 2 个区间，我们有 T(n) = T(n/2) + T(n/2) + n。该关系将如何寻找 4 个区间？ T(n) = 4T(n/4) + 什么？就 n 而言，合并步骤的复杂性是多少？
它会更快 log 4 / log 2 的常数因子，但仍然是 O(n log n)
我不认为它会更快。合并步骤实际上会更慢，从而增加整体复杂性。
我没有安静地了解复杂性和性能之间的区别。你能解释一下这个案例吗？

【解决方案3】：

您发布的所有三种算法都是 O(n log n)，只是常数略有不同。

基本思想是它需要 log(n) 遍，并且在每遍中检查 n 项。不管你的分区有多大，事实上你可以有不同大小的分区。它的结果总是 O(n log n)。

运行时差异将在merge 方法中。合并排序列表是一个 O(n log k) 操作，其中 n 是要合并的项目的总数，k 是列表的数量。所以合并两个列表是n * log(2)，结果是n（因为log2(2) == 1）。

请参阅我对How to sort K sorted arrays, with MERGE SORT 的回复了解更多信息。

【讨论】：