两个数组中第 k 个最小的数，一个已排序，另一个未排序答案

【问题标题】：The kth smallest number in two arrays, one sorted the other unsorted两个数组中第 k 个最小的数，一个已排序，另一个未排序
【发布时间】：2019-05-07 09:27:27
【问题描述】：

已经有一个answer 用于两个排序数组。但是，在我的问题中，其中一个数组未排序。

假设X[1..n] 和Y[1..m] 其中n < m。 X 已排序，Y 未排序。找到X U Y的第k个最小数的有效算法是什么。

MinHeap 可用于在未排序的数组中找到第 k 个最小的数。但是，这里对这些数组之一进行了排序。我能想到：

 1. Building a `MinHeap` for `Y`
 2. i = 1, j = 1
 3. x1 = extract Min from Y
 4. x2 = X[i]; 
 5. if j == k: return min(x1, x2)
 5. if x1 < x2: j++; goto 3
 6. else: j++; i++; goto 4

它是否有效且正确？

【问题讨论】：

在为“Y”构建最小堆时，您已经涵盖了 O(m log m) 复杂度。那么，为什么不对“Y”进行排序并应用与两个排序数组相同的方法！！
我认为从 Y 构建堆就像对 Y 排序一样。构建堆的顺序是什么？从 Y 中提取 Min 的顺序是什么？
@MahmoudHanafy 用m 构建一个堆是O(m)。从中提取最小的东西是O(log(m))。按排序顺序提取所有内容是O(m log(m))。你可以在这个问题上做得更好。
@BishalGautam 从Y 构建堆是 O(m)，而不是 O(m log m)。参见例如stackoverflow.com/questions/1787252/…

标签： arrays algorithm min

【解决方案1】：

没有任何帮助，但您必须扫描Y。这需要O(m)，所以你不能比O(m)做得更好。

但是quickselect 的性能平均O(m)。基本上，该算法只是进行快速排序，除了您忽略所有没有最终答案的分区。

鉴于n < m，我们可以简单地将一个数组连接到另一个数组并进行快速选择。

请注意，平均性能很好，但最坏情况下的性能是二次的。为了解决这个问题，如果您没有足够快地取得进展，您可以切换到相同的中位数算法，该算法可以保证快速排序的性能（尽管常量不好）。如果您不熟悉它，那就是将数组分成 5 个组，找到每个组的中位数，然后重复直到减少到 1 个元素。然后将该元素用作整个数组的基准。

【讨论】：

谢谢，什么是理论上最好的（最坏的情况）
@Ahmad 如果您每隔 5 次运行中位数的中位数，那么您的平均情况不会受到太大影响，而最坏的情况仍然是 O(m)。所以我建议这样做。

【解决方案2】：

从已排序的数组 (X) 中创建最小 k 个项目的最大堆。这需要 O(k) 时间。

对于未排序数组 (Y) 中的每个项目，如果它小于堆中最大的项目（根），则从堆中删除根并添加新项目。最坏的情况是 O(m log k)。

完成后，第 k 个最小的数字将位于堆的顶部。

虽然第二部分的最坏情况是 O(m log k)，但平均情况要好得多，因为通常必须将一小部分项目插入堆中。

【讨论】：