计算两个多维数组之间的相关系数

Question

我有两个形状为N X T 和M X T 的数组。我想计算每个可能的行对n 和m 之间的相关系数T（分别来自N 和M）。

最快、最 Pythonic 的方法是什么？ （循环遍历N 和M 在我看来既不快也不像pythonic。）我期待答案涉及numpy 和/或scipy。现在我的数组是numpyarrays，但我愿意将它们转换为不同的类型。

我希望我的输出是一个形状为 N X M 的数组。

注意当我说“相关系数”时，我指的是Pearson product-moment correlation coefficient。

这里有一些注意事项：

• numpy 函数 correlate 要求输入数组是一维的。
• numpy 函数 corrcoef 接受二维数组，但它们必须具有相同的形状。
• scipy.stats 函数 pearsonr 要求输入数组是一维的。

Answer 1

两个二维数组之间的相关性（默认为“有效”情况）：

您可以像这样简单地使用矩阵乘法np.dot -

out = np.dot(arr_one,arr_two.T)

两个输入数组的每个成对行组合 (row1,row2) 与默认 "valid" 情况的相关性将对应于每个 (row1,row2) 位置的乘法结果。

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两个二维数组的逐行相关系数计算：

def corr2_coeff(A, B):
    # Rowwise mean of input arrays & subtract from input arrays themeselves
    A_mA = A - A.mean(1)[:, None]
    B_mB = B - B.mean(1)[:, None]

    # Sum of squares across rows
    ssA = (A_mA**2).sum(1)
    ssB = (B_mB**2).sum(1)

    # Finally get corr coeff
    return np.dot(A_mA, B_mB.T) / np.sqrt(np.dot(ssA[:, None],ssB[None]))

这是基于How to apply corr2 functions in Multidimentional arrays in MATLAB的这个解决方案

基准测试

本部分将运行时性能与建议的方法与other answer. 中列出的基于generate_correlation_map 和循环pearsonr 的方法进行比较（取自函数test_generate_correlation_map()，末尾没有值正确性验证代码）。请注意，建议的方法的时间安排还包括在开始时检查两个输入数组中的列数是否相等，正如其他答案中所做的那样。接下来列出了运行时。

案例#1：

In [106]: A = np.random.rand(1000, 100)

In [107]: B = np.random.rand(1000, 100)

In [108]: %timeit corr2_coeff(A, B)
100 loops, best of 3: 15 ms per loop

In [109]: %timeit generate_correlation_map(A, B)
100 loops, best of 3: 19.6 ms per loop

案例#2：

In [110]: A = np.random.rand(5000, 100)

In [111]: B = np.random.rand(5000, 100)

In [112]: %timeit corr2_coeff(A, B)
1 loops, best of 3: 368 ms per loop

In [113]: %timeit generate_correlation_map(A, B)
1 loops, best of 3: 493 ms per loop

案例#3：

In [114]: A = np.random.rand(10000, 10)

In [115]: B = np.random.rand(10000, 10)

In [116]: %timeit corr2_coeff(A, B)
1 loops, best of 3: 1.29 s per loop

In [117]: %timeit generate_correlation_map(A, B)
1 loops, best of 3: 1.83 s per loop

另一种循环的 pearsonr based 方法似乎太慢了，但这里是一个小数据大小的运行时 -

In [118]: A = np.random.rand(1000, 100)

In [119]: B = np.random.rand(1000, 100)

In [120]: %timeit corr2_coeff(A, B)
100 loops, best of 3: 15.3 ms per loop

In [121]: %timeit generate_correlation_map(A, B)
100 loops, best of 3: 19.7 ms per loop

In [122]: %timeit pearsonr_based(A, B)
1 loops, best of 3: 33 s per loop

Answer 2

@Divakar 为计算未缩放的相关性提供了一个很好的选择，这正是我最初要求的。

为了计算相关系数，还需要一点：

import numpy as np

def generate_correlation_map(x, y):
    """Correlate each n with each m.

    Parameters
    ----------
    x : np.array
      Shape N X T.

    y : np.array
      Shape M X T.

    Returns
    -------
    np.array
      N X M array in which each element is a correlation coefficient.

    """
    mu_x = x.mean(1)
    mu_y = y.mean(1)
    n = x.shape[1]
    if n != y.shape[1]:
        raise ValueError('x and y must ' +
                         'have the same number of timepoints.')
    s_x = x.std(1, ddof=n - 1)
    s_y = y.std(1, ddof=n - 1)
    cov = np.dot(x,
                 y.T) - n * np.dot(mu_x[:, np.newaxis],
                                  mu_y[np.newaxis, :])
    return cov / np.dot(s_x[:, np.newaxis], s_y[np.newaxis, :])

下面是这个函数的测试，通过了：

from scipy.stats import pearsonr

def test_generate_correlation_map():
    x = np.random.rand(10, 10)
    y = np.random.rand(20, 10)
    desired = np.empty((10, 20))
    for n in range(x.shape[0]):
        for m in range(y.shape[0]):
            desired[n, m] = pearsonr(x[n, :], y[m, :])[0]
    actual = generate_correlation_map(x, y)
    np.testing.assert_array_almost_equal(actual, desired)

Answer 3

对于那些对计算一维和二维数组之间的皮尔逊相关系数感兴趣的人，我编写了以下函数，其中x 是一维数组，y 是二维数组。

def pearsonr_2D(x, y):
    """computes pearson correlation coefficient
       where x is a 1D and y a 2D array"""

    upper = np.sum((x - np.mean(x)) * (y - np.mean(y, axis=1)[:,None]), axis=1)
    lower = np.sqrt(np.sum(np.power(x - np.mean(x), 2)) * np.sum(np.power(y - np.mean(y, axis=1)[:,None], 2), axis=1))
    
    rho = upper / lower
    
    return rho

示例运行：

>>> x
Out[1]: array([1, 2, 3])

>>> y
Out[2]: array([[ 1,  2,  3],
               [ 6,  7, 12],
               [ 9,  3,  1]])

>>> pearsonr_2D(x, y)
Out[3]: array([ 1.        ,  0.93325653, -0.96076892])