Haskell 中的 Floating 和 Fractional 类有什么区别？答案

【问题标题】：What's the difference between the classes Floating and Fractional in Haskell?Haskell 中的 Floating 和 Fractional 类有什么区别？
【发布时间】：2017-06-17 06:46:11
【问题描述】：

Haskell 中的 Floating 和 Fractional 类有什么区别？

【问题讨论】：

他们在前奏曲中紧挨着。
你到底想说什么？
文档上真的没有信息吗？
这个问题不需要更多信息。
文档确实很差

标签： haskell floating-point fractions

【解决方案1】：

非常粗略：

Fractional 是可以表示（精确地或至少近似地）任何rational number 的类型。它可能也可以随意表示其他数字，但这并不重要。
换句话说，它只是具有除法运算的数字类型类；由于它是Num 的子类，因此类型必须包含有理数。
Floating 是在柯西意义上的限制下封闭的数字类型类，即complete spaces。这是进行任何类型的微积分所必需的。 Floating 类的方法是在数学上定义为极限的函数，即无限和（这是泰勒级数的部分和序列的极限）。
因为您可以将实数定义为序列的极限有理数，因为Floating 又是Fractional 的子类，所以任何Floating 类型都能够表示（再次，至少到一个像样的近似）任何real number。

可视化差异的一个好方法是通过拓扑：Floating 类型是 connected spaces，即它们形成一个连续体。这对浮点数意味着：每个值都被理解为实数的整个区间（因为浮点总是有一些不确定性）。当您将这些间隔并排放置时，您将整个实数平铺（至少到 ±10³⁰⁰）而没有间隙。

相比之下，一些Fractional 类型没有连接。特别是，Rational 可以完全表示它的所有（有理数）值，因此每个值只是一个“无限小点”。您永远无法用这些点覆盖整条实线，也无法计算像 sin 或 log 这样的函数，因为这些函数的结果通常是非有理实数。

值得思考一下这个“体面的近似值”是什么意思。 Haskell 标准没有定义这一点。这个关于每个浮点数代表整个实数区间的故事很好地捕捉到了 IMO。更一般地说，我们可能会说：Num/Fractional/Floating 是表示整数/有理数/实数的equivalance classes 的类型类。事实上，这些类甚至不需要是“小”区间：特别是像Word32 或标准Int 这样的有限类型可以在modular arithmetic 意义上理解，表现为(2^70 :: Int) == 0 这样的结果，即等价然后类是 2⁶⁴ 的倍数的数字空间。

在像Integer 或Rational 这样的情况下，等价类实际上只包含一个元素，即数字表示完全正确。对于实数，这实际上也是可能的，但更棘手的是，它被称为精确实数运算。有像 aern 这样的库可以做到这一点。

【讨论】：

说“Fractional 类型未连接”是不是有点误导，因为Floating 类型的集合是Fractional 类型的子集（因为class Fractional a => Floating a)？这就像说“携带 DNA/RNA 的东西是活的”，而忘记了病毒（有 RNA 但没有新陈代谢）。
@WillemVanOnsem 如果分数类型是浮动的，那么它是连接的，但如果它没有连接，那么它不是浮动的。
@JoshLee：是的，我知道：但我认为答案可能有点令人困惑......
@WillemVanOnsem 我说的一些 Fractional类型不相连，并举Rational为例。
@leftaroundabout: 是的，出于某种原因，我第一次看的时候并没有发现 some :( 可能是因为 Berlinade 截止日期而过度劳累了:)

【解决方案2】：

Fractional和Floating的定义可以在Prelude的文档中找到：

class Num a => Fractional a where
    (/) :: a -> a -> a
    recip :: a -> a
    fromRational :: Rational -> a

小数，支持实除法。

[...]

class Fractional a => Floating a where
    pi :: a
    exp :: a -> a
    log :: a -> a
    sqrt :: a -> a
    (**) :: a -> a -> a
    logBase :: a -> a -> a
    sin :: a -> a
    cos :: a -> a
    tan :: a -> a
    asin :: a -> a
    acos :: a -> a
    atan :: a -> a
    sinh :: a -> a
    cosh :: a -> a
    tanh :: a -> a
    asinh :: a -> a
    acosh :: a -> a
    atanh :: a -> a

三角函数和双曲函数及相关函数。

[...]

所以把它翻译成英文：Fractional 是我可以定义除法的任何类型的数字：

(/) :: Fractional a => a -> a -> a

例如，浮点数可能是这种情况，也可能是分数（其中分数有一个分子和分母）。 Int 不是这种情况，因为如果将 Int 除以 Int 并不总是产生 Int（从技术上讲，计算机上的浮点除法并不准确，但那是另一回事了）。

Fractional 数字的子集是定义三角函数的 Floating 数字。例如，分数的sin 不可能总是产生分数：sin 被定义为无限序列的总和。它仅适用于非常有限的情况（例如sin 0）。基本上，计算机上唯一（近似地）定义三角函数的数字是浮点数。

【讨论】：