请解释每个计算机科学家应该知道的浮点运算中的定理 4答案

【问题标题】：Please explain Theorem 4 in What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic请解释每个计算机科学家应该知道的浮点运算中的定理 4
【发布时间】：2016-04-30 00:22:29
【问题描述】：

我正在阅读What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic。而且我发现了一个有趣的定理：（如果你已经读过这篇文章，你可以跳到最后一段。）

定理 4

如果使用以下公式计算 ln(1 + x)：

当 0 ≤ x

这个公式适用于任何 x 值，但只对 x

。

左手因子可以精确计算，但右手因子 µ(x) = ln(1 + x)/x 在 x 加 1 时会出现较大的舍入误差。然而，µ 几乎是常数，因为 ln(1 + x) ≈ x。所以稍微改变 x 不会引入太大的错误。换句话说，如果 x̄ ≈ x，计算 xμ(x̄) 将很好地近似于 xμ(x) = ln(1 + x)。是否存在可以准确计算 x̄ 和 x̄ + 1 的 x̄ 值？有;即x̄ = (1x)1，因为这样1+x̄正好等于1x。

根据作者的说法，1 + x̄ 恰好等于 1 x。这让我很困惑：当 x 非常小时，将 x 加 1 应该会导致 x 的低位信息丢失。此外，在 (1 x) 1 中会发生灾难性的取消，这将导致许多准确的数字消失。

那么请告诉我，为什么在这个定理中 1 + x̄ 恰好等于 1 x？

【问题讨论】：

标签： floating-point precision floating-accuracy

【解决方案1】：

您必须重新阅读 x̄ 和的定义。 x̄ 是接近 x 的值，没有低位丢失。因此，1+x̄ 是精确的，与四舍五入的结果相同 1x

【讨论】：

真正让我担心的是 (1 (+) x (-) 1) 由于灾难性的取消，可能会产生一些无关紧要的东西。
@sunqingyao：当您计算 fp(1+x) 时，对于 x 的 eps/2 内的某个 xbar，您会得到 1+xbar。由于 0
@tmyklebu 所以无论 xbar 的值是什么，唯一的要求是它必须与 x 相似，对吧？
@sunqingyao：我看到了三个要求。首先，xbar 是一个浮点数。其次，xbar 接近于 x。第三，1+xbar也是一个浮点数——即计算fp(1+xbar)时不进行四舍五入。
@tmyklebu "xbar 加 1 时不会发生舍入" 这正是原作者的目的。