为什么 4*0.1 的浮点值在 Python 3 中看起来不错，但 3*0.1 不好看？

Question

我知道大多数小数没有精确的浮点表示 (Is floating point math broken?)。

但我不明白为什么 4*0.1 打印得很好，因为 0.4，但 3*0.1 不是，当 这两个值实际上都有丑陋的十进制表示：

>>> 3*0.1
0.30000000000000004
>>> 4*0.1
0.4
>>> from decimal import Decimal
>>> Decimal(3*0.1)
Decimal('0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125')
>>> Decimal(4*0.1)
Decimal('0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625')

Answer 1

简单的答案是因为3*0.1 != 0.3 由于量化（舍入）误差（而4*0.1 == 0.4 因为乘以 2 的幂通常是“精确”运算）。 Python 试图找到四舍五入到所需值的最短字符串，因此它可以将4*0.1 显示为0.4，因为它们是相等的，但它不能将3*0.1 显示为0.3，因为这些不相等。

您可以使用 Python 中的 .hex 方法查看数字的内部表示（基本上是 精确 二进制浮点值，而不是以 10 为底的近似值）。这有助于解释幕后发生的事情。

>>> (0.1).hex()
'0x1.999999999999ap-4'
>>> (0.3).hex()
'0x1.3333333333333p-2'
>>> (0.1*3).hex()
'0x1.3333333333334p-2'
>>> (0.4).hex()
'0x1.999999999999ap-2'
>>> (0.1*4).hex()
'0x1.999999999999ap-2'

0.1 是 0x1.999999999999a 乘以 2^-4。末尾的“a”表示数字 10 - 换句话说，二进制浮点数中的 0.1非常略大于“精确”值 0.1（因为最终的 0x0.99 向上取整到 0x0.a)。当您将此乘以 4（2 的幂）时，指数会向上移动（从 2^-4 到 2^-2），但数字不会改变，所以 4*0.1 == 0.4。

但是，当您乘以 3 时，0x0.99 和 0x0.a0 (0x0.07) 之间的微小差异会放大为 0x0.15 错误，在最后一个位置显示为一位数错误。这会导致 0.1*3 比 0.3 的舍入值非常轻微大。

Python 3 的浮点 repr 被设计为 round-trippable，也就是说，显示的值应该可以完全转换为原始值（float(repr(f)) == f 用于所有浮点 f）。因此，它不能以完全相同的方式显示0.3 和0.1*3，否则两个不同 的数字会在往返后最终相同。因此，Python 3 的repr 引擎选择显示一个带有轻微明显错误的引擎。

Answer 2

repr（和 Python 3 中的 str）将根据需要输出尽可能多的数字，以使值明确。在这种情况下，乘法 3*0.1 的结果不是最接近 0.3 的值（0x1.3333333333333p-2 十六进制），它实际上是高一个 LSB（0x1.3333333333334p-2），因此它需要更多的数字来区分它0.3.

另一方面，乘法 4*0.1确实得到最接近 0.4 的值（0x1.999999999999ap-2 十六进制），所以它不需要任何额外的数字。

您可以很容易地验证这一点：

>>> 3*0.1 == 0.3
False
>>> 4*0.1 == 0.4
True

我在上面使用了十六进制表示法，因为它既美观又紧凑，并显示了两个值之间的位差。您可以自己使用例如(3*0.1).hex()。如果您希望看到他们所有的小数点荣耀，请看：

>>> Decimal(3*0.1)
Decimal('0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125')
>>> Decimal(0.3)
Decimal('0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875')
>>> Decimal(4*0.1)
Decimal('0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625')
>>> Decimal(0.4)
Decimal('0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625')

Answer 3

这是其他答案的简化结论。

如果您在 Python 的命令行上检查浮点数或打印它，它会通过函数 repr 创建其字符串表示。

从 3.2 版开始，Python 的 str 和 repr 使用复杂的舍入方案，它更喜欢 如果可能的话，漂亮的小数，但使用更多的数字 必须保证浮点数之间的双射（一对一）映射 以及它们的字符串表示。

这个方案保证repr(float(s)) 的值看起来很简单 小数，即使它们不能 精确地表示为浮点数（例如，当s = "0.1").

同时它保证float(repr(x)) == x对于每个浮点数x都成立

Answer 4

不是真正特定于 Python 的实现，但应该适用于任何浮点数到十进制字符串函数。

浮点数本质上是二进制数，但采用科学计数法，有效数字有固定限制。

具有不与基数共享的素数因子的任何数字的倒数将始终导致重复的点表示。例如，1/7 有一个质因数 7，它不与 10 共享，因此具有循环十进制表示，1/10 与质因数 2 和 5 也是如此，后者不与 2 共享;这意味着 0.1 不能用点之后的有限位数来精确表示。

由于 0.1 没有精确表示，将近似值转换为小数点字符串的函数通常会尝试近似某些值，以免它们得到不直观的结果，例如 0.1000000000004121。

由于浮点数采用科学计数法，因此任何乘以底数的幂只会影响数字的指数部分。例如，十进制表示 1.231e+2 * 100 = 1.231e+4，同样，二进制表示 1.00101010e11 * 100 = 1.00101010e101。如果我乘以基数的非幂，有效数字也会受到影响。例如 1.2e1 * 3 = 3.6e1

根据所使用的算法，它可能会尝试仅根据有效数字猜测常见的小数。 0.1 和 0.4 在二进制中具有相同的有效数字，因为它们的浮点数本质上分别是 (8/5)(2^-4) 和 (8/5)(2^-6) 的截断.如果算法将 8/5 sigfig 模式识别为十进制 1.6，那么它将适用于 0.1、0.2、0.4、0.8 等。它还可能具有其他组合的神奇 sigfig 模式，例如 float 3 除以 float 10以及其他在统计上可能通过除以 10 形成的魔法模式。

在 3*0.1 的情况下，最后几个有效数字可能与将浮点数 3 除以浮点数 10 不同，导致算法无法识别 0.3 常数的幻数，具体取决于其对精度损失的容忍度.

编辑： https://docs.python.org/3.1/tutorial/floatingpoint.html

有趣的是，有许多不同的十进制数共享相同的最接近的近似二进制分数。例如，数字0.1和0.10000000000000001和0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625都由2分之3602879701896397** 55.近似由于所有这些十进制值的共享相同的近似，可以同时仍保持不变的eval（再版（X来显示它们中的任何一个） ) == x。

没有精度损失的容忍度，如果float x(0.3)不完全等于float y(0.1*3)，那么repr(x)不完全等于repr(y)。