数字浮点误差的上限

Question

关于这个主题有很多问题（和答案），但我太厚了，无法弄清楚。在 C 中，对于给定类型的浮点数，比如 double：

double x;
scanf("%lf", &x);

是否有一种通用的方法来计算传递给scanf 的小数字符串与x 现在的内部表示之间的误差的上限（尽可能小）？

如果我理解正确，有时会出现错误，并且会随着小数部分的绝对值的增加而增加（换句话说，0.1 会有点偏离，但 100000000.1 会偏离更多)。

Answer 1

C 标准的这一方面的规定稍显不足，但您可以预期从十进制到 double 的转换在原始 Unit in the Last Place 的一个范围内。

您似乎正在寻找转换的绝对错误的界限。有了上述假设，您可以将double 这样的界限计算为DBL_EPSILON * x。 DBL_EPSILON 通常为 2^-52。

可以按如下方式计算转换过程中可能产生的错误的更严格界限：

double va = fabs(x);
double error = nextafter(va, +0./0.) - va;

最好的转换函数保证在默认的舍入到最近模式下转换为半个 ULP。如果您使用具有此保证的转换函数，您可以将我提供的界限除以二。

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上述情况适用于以十进制表示的原始数字为 0 或其绝对值介于 DBL_MIN（约 2*10^-308）和DBL_MAX（约 2*10^308）之间的情况。如果非空十进制数的绝对值小于DBL_MIN，则绝对误差仅以DBL_MIN * DBL_EPSILON 为界。如果绝对值高于DBL_MAX，则转换的结果很可能是无穷大。

Answer 2

您不能以 10 为基数来考虑这一点，错误以 2 为基数，它不一定指向以 10 为基数的特定小数位。

您的问题有两个潜在问题，首先 scanf 获取一个 ascii 字符串并将其转换为二进制数，这是一个使用多个 C 库的软件。例如，我已经看到编译时解析与运行时解析在同一系统上给出不同的转换结果。因此，就错误而言，如果您想要一个确切的数字，请自行转换并将该二进制数放入寄存器/变量中，否则接受您通过转换获得的结果并了解可能会出现您没想到的转换的舍入或剪裁（这会导致准确性问题，您没有得到预期的数字）。

帕斯卡已经回答了第二个真正的问题。如果二进制位置，你只有 x 数。就小数而言，如果您有 3 个小数位，则数字 1.2345 必须表示为 1.234 或 1.235。如果您有 3 位尾数，则二进制相同，则 1.0011 是 1.001 或 1.010，具体取决于舍入。 IEEE 浮点数的尾数长度有据可查，你可以简单地用谷歌搜索每个精度有多少二进制位。