具有整数系数的多项式的快速因式分解答案

【问题标题】：Fast factorization of polynomial with integers coefficients具有整数系数的多项式的快速因式分解
【发布时间】：2015-06-10 07:12:07
【问题描述】：

我想在整数环上快速分解多项式（原始多项式具有整数系数，所有因子都具有整数系数）。

例如我想将4*x^6 + 20*x^5 + 29*x^4 - 14*x^3 - 71*x^2 - 48*x分解为(2*x^4 + 7*x^3 + 4*x^2 - 13*x - 16)*(2*x + 3)*x。

我应该选择哪种算法来避免代码的复杂性和方法的低效（谈到算术运算的总量和内存消耗）？

我将使用 C 编程语言。

例如，也许有一些针对ring of integers modulo prime number 的多项式分解的好算法？

【问题讨论】：

为什么不用matlab或类似的？
@NickRosencrantz，通常我使用 Sage Math 来实现这样的目标。但现在我正在实现很大程度上依赖于多项式分解的算法，并且还有 GPU（基于 Cuda 或 Opencl）作为目标平台。所以应该是C。
也许运行牛顿法，求因子，多项式除法，重复。
您必须意识到 F(Z, x) 上的因式分解不能比 Z 上的因式分解更快。下一步是使用 Viete 的幻影，并对系数进行因式分解。无论如何，祝你好运。
@petRUShka：你能分享你的 C 代码吗？

标签： c performance algorithm polynomial-math polynomials

【解决方案1】：

由于 Sage 是免费和开源的，您应该能够找到 Sage 使用的算法，然后调用它，或者最坏的情况是用 C 重新实现它。但是，如果您真的必须从头开始编写程序，这是我会做什么：首先找到所有系数的 gcd 并将其除以，这使您的多项式“无内容”。然后取导数，求原多项式及其导数的多项式gcd。通过多项式除法从原始多项式中取出该因子，这将您的问题分为两部分：分解一个无内容、无平方的多项式 (p/gcd(p,p'))，以及分解另一个多项式 (gcd(p, p')) 可能不是正方形的。对于后者，从头开始，直到您将问题简化为因式分解一个或多个无内容、无平方多项式。

下一步是实现一个因式分解算法 mod p。 Berlekamp 的算法可能是最简单的，尽管 Cantor-Zassenhaus 是最先进的。

最后，应用 Zassenhaus 算法对整数进行因式分解。如果您发现它太慢，可以使用“Lenstra-Lenstra-Lovasz lattice base reduction algorithm”进行改进。 http://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials#Factoring_univariate_polynomials_over_the_integers

如您所见，这一切都相当复杂，并且依赖于抽象代数的大量理论。您最好使用 Sage 使用的同一个库，或者重新实现 Sage 实现，甚至只是从您的程序中调用 Sage 内核的运行版本。

【讨论】：

【解决方案2】：

根据 mathoverflow 上的 answer，Sage 使用 FLINT 进行因式分解。

FLINT（数论快速库）是一个 C 库，支持数论中的计算。这也是一个研究项目数论中的算法。

因此，可以在经过充分测试且稳定的库中查看甚至使用分解算法的实现。

【讨论】：