Python中高维体积估计的好的实现是什么？

Question

我想在 Python 中估计一个高维形状的体积。我有一个预言机来查询我是否在形状内。我处于高维度（至少32*32=1024 维度）。理想情况下，我不想自己实现它，因为：

1. https://arxiv.org/pdf/1401.0120.pdf 范围内的论文似乎技术含量很高，而且似乎非专家很容易出错
2. 这似乎是一道标准数学问题（估计高亮度下的体积），因此假设存在比我可以在 python 中破解的代码更好的优化代码似乎是明智的。

有人知道解决这个问题的好方法吗？我应该继续实施我链接的论文中的那个吗？

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不确定数学技术限制可能是什么，但是：

1. 我可以访问显示 +1 或 -1 的预言机，具体取决于我是否在形状内。
2. 我想估计凸形的形状

现在我只是想继续执行类似的实现：

1. 决定一个最有可能包含我想要估计的形状的真正出价范围
2. 采样许多点（很高兴知道我需要采样多少能够很好地估计我的形状）

但是，由于这似乎是一个微妙的技术领域，如果我可以避免它，我宁愿不要太老套（特别是如果我可以得到样本数量的理论保证）

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我发布问题之前的相关链接：

• https://www.quora.com/unanswered/What-are-the-fastest-algorithms-to-implement-in-practice-that-estimate-high-dimensional-volumes
• https://arxiv.org/pdf/1401.0120.pdf
• https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.spatial.ConvexHull.html
• https://cstheory.stackexchange.com/questions/9573/computing-volume-of-high-dimensional-convex-polyhedra
• http://www.qhull.org/

Answer 1

这就是你的问题的答案：你需要多少个样本点来估计一些高维区域的体积。

假设集合 K 包含在某个封闭集合 B 中，该集合 B 的体积已知为 1，但不失一般性。用 V 表示 K 的未知体积。令 f(x) 表示 K 的指示函数：如果 x 在 K 中，则 f(x) = 1，如果 x 不在 K 中，则 f(x) = 0。（抱歉， stackoverflow 上没有 LaTeX）。

显然，V正是期望E[f(x)]，也就是概率P[f(x)=1]，其中随机变量x在B中均匀随机抽取。此外，方差var(f(x)) 正好是 V(1-V)，介​​于 0 和 0.25 之间。

对于x₁,...,x_n在B中均匀且独立地随机绘制，考虑和S_n = ( f(x₁) + ... + f(x_n))/n。中心极限定理说 S_n 是渐近正态分布 N(V,var(f(x))/n)，所以 S_n 的标准差为sqrt(V(1-V)/n)。因此，如果您想要概率 p = 0.999999998027（即 6 个标准差）的 ε 绝对精度（即 |S_n-V|≤ε），则应取 n = 36V(1-V )/ε².

特别是当 V 很小时，您将需要一个相对容差，即 ε = δV。然后，你需要 n = 36(1-V)/(Vδ²)。

您在这里看到的问题是，在 V 很小的情况下很难获得严格的准确度，但造成这种情况的糟糕之处在于维度诅咒，它粗略地说 V 可能是 O(10-d) 尺寸为 d。

例如，如果 K 是半径为 1/2 的球体，内接在边 1 的立方体 B 中，则 V 近似为 (πe/(2d))^d/2/sqrt(dπ )，如果你想要一个小于 100% 的相对误差，那么你只需要 n = O(d^d/2) 个样本。