找到球体上两点之间的中点

Question

我有一个球体，@​​987654324@ 以origin=(0, 0, 0) 为中心。在这个领域，我有几点我知道（见图）。现在我想根据这个规则找到新的点：

通过将球体上两点之间的距离平分得到一个新点。

在这个例子中（见图），我们可以假设我想找到“FT7”和“FCz”之间的中点。我有“FT7”和“FCz”的 xyz（和球面）坐标。

根据我之前的研究，这可能涉及计算great circle distance ...，然后找到结果弧的中点。但我不知道该怎么做，也不知道这是否是正确的方法。

最后，这个问题在一些数学网站上可能会更充分地提出，但我希望有一种计算和直观的方法来解决这个问题。

Answer 1

找到“中点”的一种简单方法是以下两步过程：

1. 计算连接两个给定点的线段的实际中点。如果这两个点不在球体的相对两侧，则该中点将不是原点，而是在球体内。
2. 标准化该点，使其远离原点并移到球体上。

如果你的两个点是(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，那么中点是

((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)

我们称之为(x3, y3, z3)。该点与原点的距离为sqrt(x3^2 + y3^2 + z3^2)——我们称其为L。如果该点是原点，L 为零，并且根据您的定义没有“中点”。否则，您想要的“中点”是

(x3/L, y3/L, x3/L)

因为你的球体的半径为1。如果半径是别的东西，将这些坐标乘以半径。一些编程语言可以使计算变得更简单——有些已经提供了标准化函数。