使用扩展欧几里得进行多变量 gcd 计算的复杂性

Question

CLRS 状态练习 31.2-7 的一部分

展示如何求整数 x0, x1...xn 使得 gcd(a0, a1...an) = a0x0 + a1x1..an xn。证明您的算法执行的除法次数为 O(n + lg(max{a0, a1...an})

我不知道那个复杂性表达式可能来自哪里。

可以在扩展 Euclid 的 Wikipedia 页面中的“超过两个数字的情况”部分下找到想到的算法。特别是，我们有 gcd(a0, a1...an) = gcd(a0, gcd(a1...gcd(a_n-1, an)))...)。因此，重复应用二变量扩展欧几里得来获得所有 n+1 个参数的系数。对双变量扩展欧几里德的每次调用都需要 O(lg(b)) 除法，其中 b 是两个参数中较小的一个。

因此，它的上限是 O(n * lg(max{a0, a1...an})：n 次调用双变量扩展 Euclid，每个调用最多 lg(max{a0, a1. ..an}) 递归步骤。那么在世界上哪里可以得到一个 n plus lg(max{a0, a1...an} 运行时？是因为在对扩展欧几里德的调用中，无论 b 的值是什么，两者中较小的一个，都会非常迅速地衰减，因此对于大多数调用而言，b 基本上是 O(1)？

另外，有趣的是，Knuth TAOCP 第 2 卷，第 4.5.3 节（第 364 页）问题 45 给出了这个问题：

开发用于计算三个或更多整数的最大公约数的算法分析。

该问题的难度等级为“HM48”（其中 HM 的意思是“需要书中未讨论的更高水平的数学，48 是满分 50 分，其中 50 是在“证明费马大定理”之类的水平上)。

Answer 1

我对 O(n * lg max{a0...an} ) 的推理不正确。即使我们调用二变量扩展欧几里得 n 次，所有这些调用中较小的参数 b 实际上是严格递减的，即使在扩展欧几里得的不同调用中也是如此； 不是每次都重置为我最初假设的某个顶级值 aj。

因此，复杂度中的两个项 n + lg max{a0...an} 在不同的情况下占主导地位； n 项用于大 n，lg max{a0...an} 用于小 n 和大 a0, a1。