【问题标题】：What is the bit complexity of Extended Euclid Algorithm?扩展欧几里得算法的位复杂度是多少？
【发布时间】：2019-07-15 08:33:48
【问题描述】：
使用欧几里得扩展算法计算两个 n 位值 x 和 y 的最大公约数时所涉及的位复杂度是多少，即以 n 表示的复杂度
我在使用标准扩展欧几里得算法计算 GCD 时观察到以下模式，在最坏的情况下不同位大小。
就 x 和 y 两个值的大小而言，复杂度接近该值：
Source
如何得出理论上的位复杂度来验证我的观察结果？
【问题讨论】：
标签：
algorithm
recursion
time-complexity
big-o
【解决方案1】：
我希望你能适应高峰，因为你正在寻找最坏情况的复杂性。
无论如何...
如果 a 和 b 的长度为 N 位，那么在最坏的情况下（斐波那契对），扩展欧几里得算法将采用 O(N) 次迭代。
令 f(N) 为单次迭代的成本。当然 f(N) 将至少是线性的，但仍然是多项式的，并且每种情况下近一半的迭代将涉及至少 N/2 位长的参数，所以总复杂度将在 O(N * f(N))
现在，f(N) 究竟是什么将取决于您的库中如何实现大整数运算的细节。除法/余数运算将占主导地位，尽管维基百科说如果您使用牛顿-拉夫森除法，那么其复杂性与乘法相同（尽管肯定会有一个常数乘数！）。
乘法成本 O(N * log N * log log N) 在 Schönhage–Strassen 的限制中，希望您的图书馆最终会使用它......所以当数字得到 真的很大，扩展欧几里得算法最坏的情况应该是O(N2 * log N * log log N)。