函数依赖的最大数量（包括微不足道的）答案

【问题标题】：Maximal Number of Functional Dependencies (including trivial)函数依赖的最大数量（包括微不足道的）
【发布时间】：2014-12-02 14:05:16
【问题描述】：

在 N 个属性的关系 R 中，有多少个函数依赖关系（包括微不足道的）？

我知道微不足道的依赖项是右侧是左侧的子集，但我不确定如何计算依赖项的上限。

任何有关答案和方法的信息将不胜感激。

【问题讨论】：

函数依赖表明某些属性决定其他属性。通常，“关系值（或变量）的（或其中）的 FD”是指那些成立的，即真实的陈述。在这里，您的问题可能真的应该是，可以使用给定属性表示的所有 FD 是什么。

标签： database functional-dependencies

【解决方案1】：

函数依赖的最大可能数量为

可能的左侧数 * 可能的右侧数

我们包含了微不足道的函数依赖，因此可能的左侧数等于可能的右侧数。所以这简化为

（可能的左侧数）²

假设你有 R{∅AB}。共有三个属性。¹可能的左边数是

3 个属性的组合，一次取 1 个，加上
3 个属性的组合，一次取 2 个，加上
3 个属性的组合，一次取 3 个

等于3+3+1，或7。因此对于具有三个属性的任何R，最多有7²个可能的函数依赖关系： 49。属性的顺序无关紧要，所以我们使用组合公式，而不是排列公式。

如果你从 R{∅ABC} 开始，你有

4 个属性的组合，一次取 1 个，加上
4 个属性的组合，一次取 2 个，加上
4 个属性的组合，一次取 3 个，加上
4 个属性的组合，一次取 4 个

等于4+6+4+1，或 15。因此，对于任何具有四个属性的 R，最多有 15² 个可能的函数依赖：225。

一旦您知道了这个公式，这些计算就很容易使用电子表格。使用 Ruby 或 Python 等脚本语言编写程序以生成所有可能的函数依赖项也很容易。

The Wikipedia article on combinations 提供了如何计算组合的示例，使用和不使用阶乘。

来自 R{∅AB} 的所有可能组合：

A->A A->B A->∅ A->AB A->A∅ A->B∅ A->AB∅ B->A B->B B->∅ B->AB B->A∅ B->B∅ B->AB∅ ∅->A ∅->B ∅->∅ ∅->AB ∅->A∅ ∅->B∅ ∅->AB∅ AB->A AB->B AB->∅ AB->AB AB->A∅ AB->B∅ AB->AB∅ A∅->A A∅->B A∅->∅ A∅->AB A∅->A∅ A∅->B∅ A∅->AB∅ B∅->A B∅->B B∅->∅ B∅->AB B∅->A∅ B∅->B∅ B∅->AB∅ AB∅->A AB∅->B AB∅->∅ AB∅->AB AB∅->A∅ AB∅->B∅ AB∅->AB∅

大多数人会忽略空集。他们会说 R{∅AB} 只有两个属性，A 和 B，他们会写成 R{AB}。

【讨论】：

空集可以是 FD 的行列式（也可以是候选键）。
一个错误。除了在 this 问题的上下文中，我的观点不止一个。（ATTR->{} 形式的所有 FD 都是平凡的。我们还需要 {}->ATTR 形式的所有 FD。）
一般形式是任意子集决定任意子集。所以你的答案一次也需要 0 。这意味着不仅要添加单例 & {}，还要添加所有可能的子集 & {}，包括 {}->{}。
我了解您如何使用组合获得 3 + 3 + 1，但您如何考虑空集？有没有通用的计算形式？
@Tomwa：更新答案。