算法对输入的大小是线性的 (O(n))，但是如果输入大小是指数的怎么办答案

【问题标题】：Algorithm is linear (O(n)) to size of input, but what if input size is exponential算法对输入的大小是线性的 (O(n))，但是如果输入大小是指数的怎么办
【发布时间】：2021-02-16 14:07:58
【问题描述】：

讲师说，算法的复杂性通常是根据其输入大小来衡量的。

所以，当我们说一个算法是线性的，那么即使你给它一个 2^n 的输入大小（比如 2^n 是二叉树中的节点数），算法仍然是线性的输入尺寸？

以上似乎是导师的意思，但我很难在脑海中转过它。如果你给它一个 2^n 的输入，它是某个参数“n”的指数，然后称这个输入为“x”，那么，当然，你的算法对 x 是线性的。但在内心深处，它不仍然是“n”的指数吗？说它与 x 成线性有何意义？

【问题讨论】：

既然您是提议调用输入 x 的人，您似乎有责任证明这样做是合理的。
32 = 2^5 和 32=4*8。一种说法不会使另一种说法错误。但是，一个表示 32 为指数，另一个表示为线性乘法。
随心所欲地定义它，但如果您在二叉树上运行典型的遍历，事实仍然存在，每个节点都被访问一次。因此，将算法视为线性“深层”似乎是错误的。
这是一个快速而肮脏的想法 - 线性算法线性增长处理时间。或者足够接近线性。因此，假设处理 n=1 需要 2 毫秒。使用n=10 需要 20 毫秒。使用n=100 需要 200 毫秒。所以，即使你给它一个输入 2^10 或 1024 - 线性关系意味着它应该需要 2048 毫秒才能完成。 “如果你给它一个 2^n 输入”——这不是n 真正衡量的。您的“指数”输入只是表示为n=2^x，而不是2^n。 n 是输入的大小，而不是您修改输入大小的大小。
@puf 节点数不是“指数”。节点的数量是任何节点的数量。我们没有定义“n 上升的速度有多快”让您提出这样的要求。为了确定算法的复杂性，我们仅查看它与输入相关的行为。输入如何或什至 if 只能以特定数字（与任何数字相反）表示是无关紧要的。此外，这种情况很少见。

标签： algorithm time-complexity complexity-theory

【解决方案1】：

每当你看到“线性”这个词时，你应该问——线性在什么方面？通常，当我们将算法的运行时间称为“线性时间”时，我们的意思是“算法的运行时间是 O(n)，其中 n 是输入的大小。”

您问的是如果 n = 2^k 会发生什么，并且我们将指数大小的输入传递给函数。在这种情况下，由于运行时间为 O(n) 且 n = 2^k，因此整体运行时间为 O(2^k)。这句话与算法以线性时间运行这一事实之间没有矛盾，因为“线性时间”意味着“作为输入大小的函数的线性”。

请注意，我明确选择在表达式 2^k 中使用不同的变量 k，以提醒大家注意这里确实有两个不同的量 - 输入的大小作为k 的函数（即 2^k）和变量 n 更一般地表示函数输入的大小。您有时会看到这种组合，例如“如果算法的运行时间是 O(n)，那么在大小为 2ⁿ 的输入上运行算法需要时间 O(2^{n支持>）。”这句话是对的，但解析起来有点棘手，因为 n 在那里扮演着两个不同的角色。}

【讨论】：

【解决方案2】：

如果算法具有线性时间复杂度，那么无论输入大小如何，它都是线性的。无论是固定大小的输入、二次型还是指数型。

显然，在固定大小的数组、二次或指数上运行该算法需要不同的时间，但复杂度仍然是O(n)。

也许这个例子会帮助你理解，在一个大小为 16 的数组上运行合并排序是否意味着合并排序是 O(1)，因为它需要不断的操作来对该数组进行排序？答案是否定的。

【讨论】：

running that algorithm on a fixed size array, quadratic or exponential will take different time - 这个说法没有意义。如果数组的大小为 16，则大小是固定的，二次 (4^2) 和指数 (2^4)。

【解决方案3】：

当我们说一个算法是O(n)时，意味着如果输入大小是n，它与输入大小是线性的。因此，如果n 在另一个参数k（例如n = 2^k）方面是指数的，那么就输入大小而言，该算法也是线性的。

另一个例子是对大小为n 的输入数组进行二分搜索的时间复杂度。我们说对大小为n 的排序数组的二分搜索在O(log(n)) 中。这意味着关于输入大小，最多需要渐近比较 log(n) 来搜索大小为 n 的输入数组中的项目，

【讨论】：

【解决方案4】：

假设您正在打印前 n 个数字，并且要打印每个数字需要 3 次操作：

n-> 10，操作次数 -> 3 x 10 = 30

n-> 100，操作次数 -> 3 x 100 = 300

n-> 1000，操作次数 -> 3 x 1000 = 3000

n ->10000，我们也可以说，n = 100^2（比如 k^2），操作次数 --> 3 x 10000 = 30,000 尽管 n 是某事物的指数（在本例中为 100），但我们的操作数量仅取决于输入的数量（n 为 10,000）。

所以我们可以说，它是线性时间复杂度算法。

【讨论】：