R中3参数weibull的拐点？

Question

R 中的 drc 包包含自启动函数，用于将 3 参数 Weibull 模型拟合到数据。该软件包提供了 3 参数 weibull (https://cran.r-project.org/web/packages/drc/drc.pdf) 的 2 个参数化：

f(x) = 0 + (d − 0) exp(− exp(b(log(x) − log(e))))
f(x) = 0 + (d − 0)(1 − exp(− exp(b(log(x) − log(e)))))

包的文档表明d 代表上渐近线，b 是速率参数，并且曲线在剂量e 处具有拐点。但是，绘制这些函数并使用 R 来求解何时二阶导数 = 0 给出的值与拐点的 e 不同。例如：

dd=1
bb = -5
ee = 30
curve(dd*exp(-exp(bb * (log(x) - log(ee))) ) , xlim=c(0,100))
abline(v=ee)

# 1st deriv
g <- function(x) {}
body(g) <- D( expression(dd*exp(-exp(bb * (log(x) - log(ee))) )), "x")
curve(g, xlim=c(0, 100))
abline(v=ee)

# 2nd deriv
g <- function(x) {}
body(g) <- D(D( expression(dd*exp(-exp(bb * (log(x) - log(ee))) )), "x"), "x")
curve(g, xlim=c(0, 100))
abline(v=ee)

uniroot(g, c(20,50))  # should be 30, but is not?

文档不正确吗？或者这是否与 weibull 的特定记录参数化有关（将其限制为正数）？

Answer 1

我认为文档有误。

exp(-exp(x)) 在 0 处有一个拐点：

DD <- function(expr, name, order = 1) {
  if(order < 1) stop("'order' must be >= 1")
  if(order == 1) D(expr, name)
  else DD(D(expr, name), name, order - 1)
}

DD( expression(exp(-exp(x))) , "x" , 2)
#-(exp(-exp(x)) * exp(x) - exp(-exp(x)) * exp(x) * exp(x))

exp(0) 等于 1。因此，我们有： -(1/e - 1*e) = 0

我可以看到当内部指数的参数变为零时，如何假设exp(-exp(log(x) - log(c))) 也会有一个拐点。但事实并非如此，因为log 改变了曲率和二阶导数：

DD( expression(exp(-exp(log(x) - log(c)))) , "x" , 2)
#-(exp(-exp(log(x) - log(c))) * (exp(log(x) - log(c)) * (1/x) * 
#    (1/x) - exp(log(x) - log(c)) * (1/x^2)) - exp(-exp(log(x) - 
#    log(c))) * (exp(log(x) - log(c)) * (1/x)) * (exp(log(x) - 
#    log(c)) * (1/x)))

如果我们把 x = c，我们有：

-(1/e * (1 * 1/c * 1/c - 1 * 1/c^2) - 1/e * 1 * 1/c * 1 * 1/c)

= -(0 - 1/e * 1/c^2)

= 1/e * 1/c^2

那不是 0。

只是为了检查我的数学：

g <- function(x) {}
body(g) <- DD( expression(exp(-exp(log(x) - log(c)))) , "x" , 2)
c <- 2
g(2)
#[1] 0.09196986
1/exp(1) * 1/2^2
#[1] 0.09196986

（为了获得额外的学分，您应该手动进行二阶导数。我没有那么多时间。）