假设我们有以下循环：
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = i+1; j < n; j++)
for (int k = j+1; k < n; k++)
for (int l = 0; l < n; l++)
我知道第一个循环会循环 n 次。
我认为第二个将运行 (1/2) * (n^2 + n - 2) 次，因为我们需要计算从 2 到n，不是从 1 到 n。
但是，我不知道第三个和第四个。
【问题讨论】：
标签： algorithm loops for-loop iteration
有（至少）两种方法可以理解时间复杂度：第一种方法是注意三个嵌套的 for 循环恰好生成 n-set 的所有 3-subsets，第二种方法是“直接”方法。
前三个 for 循环恰好选择了 n-set 的所有 3-subset，每个 3-subset 只选择一次（想想看）。有(n choose 3) = O(n^3) 这样的子集（参见here）。最里面的循环为其他三个循环的每个O(n^3) 迭代执行O(n) 工作，因此总时间为O(n^4)。
三个循环（没有最里面的一个）正好进行n choose 3 = n!/(3!(n-3)!) 迭代。这正是n*(n-1)*(n-2) / 6 迭代。
不管其他循环如何，最里面的循环都会执行n次，因此时间复杂度将为O(n * f(n))，其中f(n)是其他三个循环的时间复杂度，如果我们删除最里面的循环。
两个最里面的循环（j- 和 k-indexed 的循环）一起花费O(i^2) 时间。这很容易看出——它与从j=0 到i-1 和k=j 到i-1 的双循环相同，所以时间是O(1) + O(2) + ... + O(i) = O(i^2)。
因为最外层循环从i=0 到n-1，所以总复杂度为n * (O(1^2) + O(2^2) + ... + O(n^2))，即O(n * n^3)：最外层循环（i-indexed）执行双for循环（@987654350 @- 和 k-indexed) 从 i=0 到 i=n-1。
因此我们有O(n^4) 的总运行时间。
要获得准确的迭代次数，您必须计算合适的i 的项i*(i-1)/2 = (i^2-i)/2 的总和。让我们只求和，最后除以 2。
你可以把它分成两个总和，
(1^2 + 2^2 + ...n-1) - (1 + 2 + ... + n-1) =
= n(n-1)(2n-1)/6 - n*(n-1)/2 =
= n*(n-1)(n-2)/3
现在我们除以二得到结果n*(n-1)*(n-2)/6。和上面的完全一样。 （见how to compute the sum of first n squares。）
【讨论】：
n choose 3。这是n! / (3!*(n-3)!)，或者简化为n*(n-1)*(n-2)/6。
第一个循环将重复 n 次，第二个循环将执行 (n-1) 次，第三个循环将循环 (n-2) 次，最后一个循环将执行 l 次。最后他们都会去 n*(n-1)*(n-2)*l 次。
【讨论】：