查找斐波那契数的最后 5 位的算法

Question

我正在尝试实现一个迭代算法来计算第 N 个斐波那契数的最后 5 位数字。我找到第 n 个斐波那契数本身并只显示最后 5 位数字没有问题，但是，我的作业还要求找到我的程序在 1 分钟内运行的最大值 n。问题是，N 变得非常大，因此斐波那契数也很大。我应该只使用 BigInteger 来存储值并最终使用 % 运算符来显示最后 5 个数字吗？有没有办法利用我只需要最后 5 位数字来加速这个过程？我觉得我错过了任务的重点。

作业是这样说的： 使用 Java，实现计算第 n 个斐波那契数的最后 5 位的迭代算法。进行实验，找出程序在计算机上运行时间不到 1 分钟的最大 n 值。

我查找第 N 个斐波那契数的最后 5 位的代码：

public static int Fibonacci(int n){
    int a, b = 0, c = 1;
    for(int i = 1; i < n; i++){
        a = b;
        b = c;
        c = a + b;
    }
    return c % 100000;
}

我也很想知道是否有更好的迭代解决方案。

Answer 1

正如您已经注意到的，找到最后 5 位数字相当于计算结果以 100000 为模。要解决溢出问题，您可以对中间结果应用 % 100000 运算，因此不需要 BigInteger。应该是：c = (a + b) % 100000。

理论上，您可以将解的时间复杂度从 O(N) 提高到 O(log(N))。该算法基于快速矩阵求幂。但是，您的作业需要迭代方法，所以我只是为了完整性而提及它。

Answer 2

Ardavel 的回答很好、清楚地解释了为什么在循环中取余数会给出正确的结果，这样您就不需要使用 BigInteger。所以为了你的任务，这个问题得到了回答；但是这个问题太有趣了，不能把它留在那里。你说：

我也很想知道是否有更好的迭代解决方案。

所以，这里是：

矩阵乘法

Ardavel 提到，您可以通过使用高效的矩阵幂算法计算 matrix power，在 O(log n) 时间内计算出相同的结果。本质上，第 n 个斐波那契数可以写成封闭形式：

( ... ) = ( 1 1 )n ( 1 )
( F_n )   ( 1 0 )  ( 0 )

这个矩阵的n 的幂可以在 O(log n) 时间内计算出来，例如使用square and multiply 算法，该算法可以迭代实现——迭代版本比递归版本更高效。

“O(1)时间”解

实际上，使用以下观察可以做得更好：让我们将上面的矩阵方程称为A^n v，其中v 是初始向量。模 100,000 的二维整数向量只有有限个，2x2 整数矩阵也只有有限个。所以有一些有限的数t 使得A^t v = v。

这意味着A^n = A^(n % t)，因此无论n 有多大，您最多只需要进行固定、恒定数量的矩阵乘法.原来t的值是150,000，所以我们可以通过在开头写n %= 150000;来改进任何算法。

但是，这个解决方案并不是 O(1) 时间，因为对于任意大的 n，无法在恒定时间内找到余数模 t。假设我们允许输入任意大（其余的计算仍然可以使用ints 完成），那么即使以二进制格式读取输入所花费的时间也是 O(log n)。但这比 O(log n) 矩阵乘法要好得多。

中国剩余定理

我们可以更进一步。如果我们应用Chinese remainder theorem，那么找到模 2⁵ 的答案和模 5⁵ 的答案就足够了，因为它们唯一地确定了模 10^{5 的答案}。事实证明，循环长度t 在两种情况下都短得多：对于模数 2⁵，t 仅为 48，而对于 5⁵，则为 12,500。

这足够小，如果性能非常重要，我们可以预先计算长度分别为 48 和 12,500 的数组中较小模的结果。这些数字足够小，可以容纳 2 字节 shorts，因此数组占用大约 25KB 左右的内存，相比之下，如果您要预先计算 @987654341 的数组，则需要大约 600KB 来存储 150,000 个ints @ = 150,000。

然后算法是“取 n 模 48 和 12,500，在两个数组中查找，并应用中国剩余定理”，这并不是真正的迭代，但至少你可以争辩说数组是使用迭代算法预先计算的。